Как определить количество узлов и ветвей в цепи: Что такое электрическая схема, ветвь, узел, контур.

Разное

Содержание

Что такое электрическая схема, ветвь, узел, контур.

ads

Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она показывает, как осуществляется соединение элементов в рассматриваемой электрической цепи.

Простым языком электрическая схема это упрощенное изображение электрической цепи.

Для отображение электрических компонентов (конденсаторов, резисторов, микросхем и т. д.) в электрических схемах используются их условно графические обозначения.  

Для отображения электрических соединений (дорожек, проводов, соединения между радиоэлементами) применяют простую линию соединяющие два условно графических обозначения. Причём все ненужные изгибы дорожек удаляют.

В состав электрической схемы входят: ветвь и условно графические обозначение электрических элементов так же могут входить контур и узел.

Безымянный - копия (2) - копия

 

  Ветвь – участок цепи состоящий из одного или нескольких элементов вдоль которого ток один и тот же.

Ветви присоединённые к одной паре узлов называются параллельными.


Безымянный - копия (2)

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям называется контуром. На верхнем рисунке, контурами можно считать ABD; BCD; ABC.

Узел – место соединения трёх и Безымянный - копия (3) - копияболее ветвей. 

  • Узел A
  • Узел B
  • Узел C
  • Узел D

Точки К и Е не являются узлами.

Как_определить_сколько_ветвей_в_цепи

Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она показывает, как осуществляется соединение элементов в рассматриваемой электрической цепи.

Простым языком электрическая схема это упрощенное изображение электрической цепи.

Для отображение электрических компонентов (конденсаторов, резисторов, микросхем и т. д.) в электрических схемах используются их условно графические обозначения.

Для отображения электрических соединений (дорожек, проводов, соединения между радиоэлементами) применяют простую линию соединяющие два условно графических обозначения. Причём все ненужные изгибы дорожек удаляют.

В состав электрической схемы входят: ветвь и условно графические обозначение электрических элементов так же могут входить контур и узел.

Ветвь – участок цепи состоящий из одного или нескольких элементов вдоль которого ток один и тот же.

Ветви присоединённые к одной паре узлов называются параллельными.


Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям называется контуром. На верхнем рисунке, контурами можно считать ABD; BCD; ABC.

Узел – место соединения трёх и более ветвей.

Точки К и Е не являются узлами.

Подставив 1.

Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений. Реальная электрическая цепь может быть представлена в виде активного и пассивного двухполюсников рис.

Если вы не помните формулу делителя тока, то можно решить задачу другим способом. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.
Как научиться читать электрические схемы

Для исходной схемы своего варианта, см.

Последовательное включение источников питания источников ЭДС применяется тогда, когда требуется создать напряжение требуемой величины, а рабочий ток в цепи меньше или равен номинальному току одного источника ЭДС рис.

Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.

Дальнейший расчет п.

Рассчитайте схему цепи

Так как ток обоих участков цепи одинаков, а сумма напряжений на элементах равна приложенному рис. Приступаем к основному этапу — составлению системы уравнений контурных токов. Реальная электрическая цепь может быть представлена в виде активного и пассивного двухполюсников рис.

Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров.

Линейные электрические цепи постоянного тока Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта и изображенной на рис.

Задача 1. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Последовательное соединение нелинейных элементов.

Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой. Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура так, чтобы охватить каждый неизвестный ток в данной схеме имеем 3 таких контура.

Пользуясь характеристиками рис. При этом на нагрузке выделится активная мощность 1.
Как читать электрические схемы. Урок №6

Основные понятия

Рассмотрим пример. В заданной схеме, см.

Токи в резисторах В данном случае удобно проверить задачу с помощью первого закона Кирхгофа, согласно которому сумма токов сходящихся, в узле равна нулю. Выполняем все поэтапно.

В табл.

Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно. Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия тиристоры, транзисторы и другие.

Пусть, например, задана величина приложенного к току напряжения U и требуется определить ток в цепи и распределение напряжений на ее участках. Последовательное соединение нелинейных элементов. Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия тиристоры, транзисторы и другие.

Примеры решения задач на законы Кирхгофа

В схеме рис. После проведенных преобразований рис.

Приступаем к основному этапу — составлению системы уравнений контурных токов. Про комплексные числа можно подробнее прочитать на нашем сайте. Определим параметры электрической цепи рис. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Но с помощью закона Кирхгофа удобно проверять простые цепи, имеющие один контур.

Система уравнений 4. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. Запишем уравнения:: 4. В этом случае ток в нагрузке становится равным нулю, и как следует из соотношения 1.
КАК ТЕЧЁТ ТОК В СХЕМЕ — Читаем Электрические Схемы 1 часть

Переменный ток.

В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками.

Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения. Работа активного двухполюсника под нагрузкой в номинальном режиме определяется уравнением 1.

Определим параметры электрической цепи рис. Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику; управляемые — семейство характеристик.

Определить ток I1 в заданной по условию схеме с источником тока, используя метод эквивалентного генератора. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений.

АГЗ МЧС РГР №1 Расчёт линейных цепей постоянного тока

Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Определим параметры электрической цепи рис. Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений.

Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Режим работы электрической цепи рис. Переменный синусоидальный ток или напряжение задается уравнением: Здесь Im — амплитуда тока. Например, с помощью закона Кирхгофа, который гласит, что сумма ЭДС в контуре равна сумме напряжений в нем. Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.

Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.

Эта вольт-амперная характеристика строится по двум точкам 1 и 2 рис. Для этого необходимо найти напряжение в цепи, которое будет общим для обоих резисторов, так как соединение параллельное. Следовательно, схема источника тока рис. Вычислим коэффициент подобия.

Составить баланс мощностей в исходной схеме схеме с источником тока , вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок сопротивлений. Рекомендуется узлы схемы a, b, c, d заменить на 1, 2, 3, 4 соответственно. Исключением служат цепи, содержащие более сложные соединения звездой и треугольником. В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке.
Законы Кирхгофа — Теория и задача

Как правило, в задачах заданы все ЭДС, сопротивления и источники тока, при этом нужно определить токи в ветвях электрической цепи. Однако бывают и обратные задачи в которых требуется определить при каких значениях ЭДС и источника тока в ветвях будут протекать заданные токи, при этом сопротивления ветвей известны. Есть задача на определение сопротивлений в ветвях при заданных ЭДС и токах в ветвях. Бывают комбинированные задачи, в которых заданы некоторые источники, некоторые сопротивления и некоторые токи ветвей, при этом требуется найти неизвестные токи, ЭДС и сопротивления.

Количество неизвестных должно совпадать с количеством ветвей электрической цепи за исключением ветвей, содержащих источники тока.

Следовательно, при решении задачи по законам Кирхгофа необходимо составить N уравнений, столько – же, сколько в схеме содержится ветвей без источника тока.

А сколько уравнений нужно взять по 1му и по 2му закону Кирхгофа?

Уравнения по 1му закону Кирхгофа проще, поэтому их нужно брать как можно больше (эти уравнения называют еще узловыми). Для схемы, изображенной на рис.1 можно составить 4е уравнение по первому закону Кирхгофа. Но все ли они нужны? запишем уравнения для 1, 2 и 3 узла:

Теперь сложим их левые и правые части:

или поменяв знаки .

Мы получили при этом четвертое уравнение. Т.е. три уравнения для этой схемы несут информацию о четвертом, последнем уравнении, которое называется зависимым. 1,2 и 3е уравнения называются независимыми узловыми уравнениями.

Если рассмотреть другую схему с иным количеством узлов, то для нее будет характерна та же картина: последнее уравнение по 1му закону Кирхгофа можно получить, просуммировав уравнения для других узлов.

Из этого следует, что для решения задачи нужно взять узловых уравнений на единицу меньше количества узлов – у.

Количество уравнений по 1му закону Кирхгофа — на единицу меньше количества узлов – у, содержащихся в цепи. Последнее уравнение – зависимое.

Выбор независимых узловых уравнений произволен, т.е. можно было взять в качестве независимых, уравнения для 2, 3, 4 узлов, или 1,3, 4 и т.д.

Теперь легко определить необходимое количество уравнений по 2му закону Кирхгофа – их называют контурными уравнениями. Если общее количество уравнений – N, а узловых уравнений — , то количество контурных уравнений — определяется, как :

Количество уравнений по 2му закону Кирхгофа равно общему количеству уравнений N минус количество уравнений по 1му закону Кирхгофа .

Контура, уравнения которых используются для решения задачи, называются независимыми контурами, а их уравнения – независимыми контурными уравнениями.

Выбор независимых контуров произволен.

Для цепи в нашем примере неизвестных токов – шесть, ветвей без источников тока – шесть, узлов – четыре, независимых узлов – три, независимых узловых уравнений – три, следовательно независимых контуров — . Только для трех контуров нужно составлять уравнения по второму закону Кирхгофа в нашем примере (а всего контуров – семь). При этом не имеет значения какие три контура взять. Возьмем, для примера, 1, 2 и 3 контура. Посмотрим на ветви схемы: мы видим, что 1я ветвь входит только в 1й контур, 4я ветвь – только во 2й контур, а 6я ветвь — только в 3й контур, а 2я, 3я и 5я ветви входят сразу в два контура.

Ветви, входящие в несколько независимых контуров называются взаимными ветвями контуров или смежными ветвями.

Ветви, входящие только в один независимый контур называются внешними или собственными ветвями контуров.

Из примера мы видим, что каждый независимый контур имеет собственную ветвь, т.о. мы можем сформулировать еще одно определение независимого контура:

Независимый контур – это контур, имеющий собственную (внешнюю) ветвь, не входящую ни в один другой контур и принадлежащую только ему.

ветвь, узел, контур. — Студопедия

Электрическая цепь, ее элементы, схема замещения.

Электрическая цепь – это совокупность устройств, предназначенных для взаимного преобразования, передачи и распределения электрической энергии. Если все эти три процесса происходить при токах и напряжениях постоянных во времени, то такие цепи наз-ся цепями постоянного тока. Отдельное устройство, входящее в состав электрической цепи и выполняющее в ней определённую функцию, называется элементом электрической цепи. К основным элементам относятся источники электрической энергии и приёмники этой энергии. (источники энергии, резисторы, катушки, конденсаторы, гальванические элементы, камутаторы и т.д.). Схема замещения – графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения её основных элементов и способы их соединения. На этой схеме реальные элементы замещаются расчётными моделями (идеализированными элементами). Схемами замещения пользуются при расчёте режима работы электрической цепи.

Топологические понятия электрических цепей: ветвь, узел, контур.

Узел —это участок электрической схемы, где сходиться 3 и более токов.

Ветвь – это участок электрической схемы, на котором все элементы соединены последовательно и по которым течет один и тот же ток.

Контур —любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

3. Законы Кирхгофа для цепей постоянного тока.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю.



Количество уравнений по первому закону: у – 1. У – количество узлов.

Второй закон Кирхгофа.1)Алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

2) Алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС.

Количество уравнений по второму закону : кол-во ветвей — кол-во ур в 1зак.

Метод двух узлов примеры с решением

Метод двух узлов примеры с решением

Расчет сложных электрических цепей методом двух узлов.

Метод двух узлов применяется в тех случаях, если схема имеет два узла и ряд параллельных ветвей между ними. Для нахождения неизвестных токов составляют уравнения по закону Ома:


где — ток -й ветви;

— ЭДС -й ветви;

— узловое напряжение;

— сопротивление -й ветви;

— проводимость -й ветви, .

ЭДС и напряжение берутся со знаком «+», если их направления совпадают с направлением тока рассматриваемой ветви.

Величина находится по формуле


В этой формуле берется со знаком плюс «+», если ее направление противоположно направлению , и со знаком минус «-», если их направления совпадают.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Пример задачи с решением 1.

Составить необходимые уравнения для определения значений токов в ветвях схемы (рисунок 2.2), используя метод двух узлов.


Рисунок 2.2 — Электрическая цепь к примеру расчёта .методом двух узлов

Решение

По закону Ома токи в ветвях:


где

Напряжение между двумя узлами


Рассмотрим применение различных методов на задачах 1 и 2.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример задачи с решением 2.

В электрической цепи включены два источника переменного напряжения: (рисунок 4.1). Задачу решить методом контурных токов, методом непосредственного применения законов Кирхгофа и методом узлового напряжения. Осуществить моделирование работы схемы в среде Multisim.

Определить токи в ветвях, если ;


Рисунок 4.1 — Цепь переменного тока с двумя источниками питания к задаче 1

Решение

Метод контурных токов.

Определим значение реактивных сопротивлений элементов:


Рассчитаем полные сопротивления отдельных ветвей в комплексной форме:


Тогда исходная схема для решения методом контурных токов преобразуется к виду, представленному на рисунке 4.2.


Рисунок 4.2 — Цепь переменною тока с двумя источниками питания к задаче 1 для решения методом контурных токов

Определим значения ЭДС источников в комплексной форме:


Система уравнений для определения контурных токов

где


Таким образом,


Находим значение контурных токов:


где


Найти решение системы уравнений в комплексной форме можно, воспользовавшись Калькулятором (рисунок 4.3).


Рисунок 4.3 — Программа Калькулятор для решения системы уравнений

Токи в ветвях:


Модель электрической цепи в среде Multisim приведена на рисунке 4.4. Действующие значения токов соответствуют расчётным.


Рисунок 4.4 — Модель цепи переменною тока в Multisim с двумя источниками питания к задаче 1

Комплексные мощности источников ЭДС:


Здесь


Комплексные мощности нагрузки


Небольшие расхождения в полученных значениях мощностей объясняются округлением величин при расчете.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа.

Преобразуем заданные комплексные величины из алгебраической формы в показательную:


Записываем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:


Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа:


Объединив уравнения (4.1)-(4.3), получим


В уравнения (4.4) и (4.5) подставляем значения заданных величин:


Решаем уравнения (4.6) и (4.7), используя определители:

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Метод узлового напряжения (метод двух узлов).

Размечаем схему применительно к методу узлового напряжения (рисунок 4.5).


Рисунок 4.5 — Цепь переменного тока с двумя источниками питания к задаче 1 для решения методом двух узлов

Находим комплексные проводимости полных сопротивлений ветвей:


Рассчитываем комплексное межузловое напряжение:


Определяем токи в ветвях:

Топология электрической цепи (Лекция N 2)

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она
состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно
отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис.
1, 2), введя понятие ветви и узла.

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных
цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в
смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа
и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую
ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь
схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура,
показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии,
называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви
могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным
образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа.
Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может
быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все
ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь
или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся
в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые
две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются
на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5;
4-5; 3-6-4; 1
образуют пути между одной и той же парой узлов 1
и 3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным
и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры,
образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой
узлов графа существует связь, то граф называют связным.

3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного
контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис.
4.

Рис.4

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево
до исходного графа.

Если граф содержит m узлов и n
ветвей, то число ветвей любого дерева ,
а числа ветвей связи графа .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на
два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным
узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности,
рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для
нашего графа на рис. 3 S1 иS2 . При этом
получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и
6-2-1-5
.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

  • главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной
    ветви связи;
  • главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной
    ветви дерева.

Топологические матрицы

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как
не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи
вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами.
Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов
уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют
узлам, а столбцы – ветвям схемы.

Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число
ветвей n=6. Тогда запишем матрицу АН
, принимая, что элемент матрицы
(i –номер строки; j –номер
столбца) равен 1, если ветвь j
соединена с узлом i и ориентирована от него, -1,
если ориентирована к нему, и 0, если ветвь
j не соединена с узломi . Сориентировав
ветви графа на рис. 3, получим

Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется
неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН
всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и
один элемент -1, остальные нули.

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице
А (редуцированной матрице),
которая может быть получена из матрицы АН
путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим

Число строк матрицы А
равно числу независимых уравнений для узлов ,
т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону
Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А,
перейдем к первому закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря,
он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е.
справедливо соотношение



(1)

где
— вектор плотности тока;
— нормаль к участку dS замкнутой поверхности S.

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения
S2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов
в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно
записать

.

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа
справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов,
что математически можно записать, как:



(2)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для
(m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно
(любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной
информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей



I=

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

– где O — нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой
взята матрица А, а не АН, т.к. с учетом
вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1)
узлов.

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3


Отсюда для первого узла получаем

,

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов
уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы
Всоответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Элемент bijматрицы В равен 1, если
ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением
обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура,
и 0, если ветвьj не входит в контурi.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей
главных контуров
. При этом за направление обхода контура принимают направление
ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое
ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность
потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.



(4)

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается
два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:



(5)

— и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на
зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с
использованием законов Кирхгофа записывается
независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых
для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение
топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры
и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа.
Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону
Кирхгофа, получаем систему из
уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся
однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей


U=

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

,

откуда, например, для первого контура получаем

,

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов



=

причем потенциал последнего узла ,
то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением



U=AТ

(7)

где AТ — транспонированная узловая матрица.

Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС
,
где АД – подматрица, соответствующая ветвям некоторого
дерева, АС— подматрица, соответствующая ветвям связи, может
быть использовано соотношение В= (ТС А-1ТД1).

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных
по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а
столбцы – ветвям графа.

Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей
главных сечений
. Число строк матрицы Q равно числу независимых
сечений.

Элемент qij матрицыQ равен 1,
если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения
(за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей
в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и
0, если ветвьj не входит в i сечение.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа
на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

В заключение отметим, что для топологических матриц А, В
и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления
этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических
матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.

Литература

1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных
цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб.
и доп. –М.: Высш. шк., 1976.-544с.

2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.:
Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш.
шк., 1990. –400с.

3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

 

Контрольные вопросы и задачи

  1. Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
  2. Что такое узловая матрица?
  3. Что такое контурная матрица?
  4. Что такое матрица сечений?
  5. Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе
    независимых уравнений:
  6. .

    Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв,
    что ветвям дерева присвоены первые номера.

    Ответ:



    B=
    Q=
  7. Составить матрицу главных контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево
    образовано ветвями 2, 1 и 5
  8. Ответ:


    B=
  9. Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9).

Электротехника Часть 5 Методы расчёта электрических цепей

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассматривал типы соединений приемников энергии в электрических цепях, а так же законы Кирхгофа, которые определяют основные соотношения токов и напряжений в этих цепях. Но кроме знания основных законов электротехники необходимо уметь рассчитывать неизвестные параметры электрических цепей по заданным известным параметрам. Так, например, по известным напряжениям, ЭДС и сопротивлениям необходимо знать какую мощность будет потреблять тот или иной приемник энергии, а так же вся цепь в целом. Этим мы и займёмся в данной статье.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Расчёт электрических цепей с помощью законов Кирхгофа

Существует несколько методов расчёта электрических цепей, которые различаются между собой параметрами, которые необходимо найти, а так же количеством необходимых расчётов.

Вначале я расскажу, как произвести расчёт цепи в общем виде, но в результате размеры вычислений будут неоправданно большими. Данный метод расчёта основан на законах Ома и Кирхгофа и используется при расчётах небольших цепей с малым количеством контуров. Для этого составляют систему уравнений из (q — 1) уравнений для узлов цепи и n уравнений для независимых контуров. Независимые контуры характеризуются тем, что при составлении уравнений для каждого нового контура входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущий контур. Таким образом, количество уравнений в системе уравнений по данному методу расчёта цепи будет определяться следующим выражением

В качестве примера рассчитаем электрическую цепь, приведённую на рисунке ниже

Схема для расчёта по законам Кирхгофа
Пример электрической цепи для расчёта по законам Ома и Кирхгофа.

В качестве примера возьмём следующие параметры схемы: E1 = 50 B, E2 = 30 B, R1 = R3 = 10 Ом, R2 = R5 = 20 Ом, R4 = 25 Ом.

  1. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа. Так как узла у нас два, то выберем узел А и составим для него уравнение. Я выбрал условно, что токи I1 и I2 втекают в узел, а I3 – вытекает, тогда уравнение будет иметь вид

  2. Составим недостающие уравнения по второму закону Кирхгофа. В схеме у нас два независимых контура: E1R1R2R4E2R3  и E2R4R5, поэтому выбирая произвольное направление контуров составим недостающие два уравнения. Я выбрал обход по ходу часовой стрелке, поэтому уравнения имеют вид

Таким образом, получившаяся система уравнений будет иметь следующий вид

Решив данную систему, получим следующие результаты: I1 ≈ 0,564 А, I2 ≈ 0,103 А, I2 ≈ 0,667 А.

В результате решения системы уравнений по данному методу может оказаться, что токи получились отрицательными. Это значит, что действительное направление токов противоположно по направлению выбранному.

Метод контурных токов

Рассмотренный выше метод расчета электрических цепей при анализе больших и разветвленных цепей приводит к неоправданно трудоемким расчетам, поэтому редко применяется. Более широко используется метод контурных токов, позволяющий значительно сократить количество уравнений. При этом вместо токов в ветвях электрической цепи определяются так называемые контурные токи при помощи второго закона Кирхгофа. Таким образом, количество требуемых уравнений будет равняться числу независимых контуров. В качестве примера рассчитаем цепь изображённую на рисунке ниже

Метод контурных токов
Расчет цепи методом контурных токов.

Если бы мы вели расчёт цепи по методу законов Ома и Кирхгофа, то необходимо было бы решить систему из пяти уравнений. Для расчёта по методу контурных токов необходимо всего три уравнения.

В начале расчёта выделяют независимые контуры, в нашем случае это: E1R1R2E2, E2R2R4E3R3 и E3R4R5. Затем контурам присваивают произвольно направленный контурный ток, который имеет одинаковое направление для всех участков выбранного контура, в нашем случае для первого контура контурный ток будет Ia, для второго – Ib, для третьего – Ic. Как видно из рисунка некоторые контурные токи соответствуют токам в ветвях

Остальные же токи можно найти как разность двух контурных токов

В результате выбора контурных токов можно составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа

Рассчитаем схему, изображённую на рисунке выше со следующими параметрами E1 = E3 = 100 B, E2 = 50 B, R1 = R2 = 10 Ом, R3 = R4 = R5 = 20 Ом. Запишем систему уравнений

В результате решения системы получим Ia = I1 = 4,286 А, Ib = I3 = 3,571 А, Ic = I5 = -0,714 А, I2 = -0,715 А, I4 = 4,285 А. Так же как и в предыдущем случае если токи получаются отрицательными, значит действительное направление противоположно принятому. Таким образом, токи I2 и I5 имеют направление противоположное изображённым на рисунке.

Метод узловых напряжений

Кроме метода контурных токов, для уменьшения трудоемкости расчётов, применяют метод узловых напряжений, при этом возможно еще меньшее число уравнений, так как при этом методе их число достигает

где q – количество узлов в электрической цепи.

Принцип расчёта электрической цепи заключается в следующем:

  1. Принимаем один из узлов цепи за базисный и присваиваем ему потенциал равный нулю;
  2. Для оставшихся узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, заменяя токи в ветвях по закону Ома через напряжение и сопротивление;
  3. После решения получившейся системы уравнений вычисляем токи в ветвях по обобщенному закону Ома.

В качестве примера возьмём предыдущую цепь и составим систему уравнений

Метод узловых потенциалов
Схема для решения уравнений методом узловых потенциалов.

В качестве базисного возьмём узел А и заземлим его, для остальных узлов B и D составим уравнения по первому закону Кирхгофа

Примем потенциалы узлов В = U1 и D = U2, тогда токи в ветвях выразятся через обобщённый закон Ома

В результате получившаяся система будет иметь следующий вид

Рассчитаем схему, изображённую на рисунке выше со следующими параметрами E1 = E3 = 100 B, E2 = 50 B, R1 = R2 = 10 Ом, R3 = R4 = R5 = 20 Ом. Запишем систему уравнений

В результате решения системы уравнений мы пришли к следующим результатам: потенциал в узле В – U1 = -57,14 В, а в узле D – U2 = 14,29 В. Теперь нетрудно посчитать, что токи в ветвях будут равны

Результат решения для токов I2 и I5 получился отрицательным, так как действительное направление токов противоположно направлению, изображённому на рисунке. Данные результаты совпадают с результатами, полученными для этой же схемы при расчёте по методу контурных токов.

Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.Здесь можно всё сделать своими руками.

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом узловых и контурных уравнений.

ads

Этот принцип основан на первом и втором законе Кирхгофа. Он не требует преобразования схемы.

Порядок расчёта:

  1. Произвольно задаёмся направлением токов в ветвях. (Токи в ветвях надо направлять так, что бы хотя бы один ток выходил из узла и один входил в узел)

ТОЭ 1

Красным выделены изменения после первого действия

Синим выделены изменения после второго пункта

  1. Составляем уравнение для узлов по первому закону Кирхгофа. Их должно быть n минус 1 . (n – число узлов)
    1. Обозначаем узлы буквами.
    2. Берём один конкретный узел (Например узел А) и смотрим как направлены токи в ветвях образующих узел. Если ток направлен в узел, то записываем его со знаком плюс, если из него то со знаком минус. 0=I1-I4-I6 (Полученное уравнение)
    3. Повторяем пункт B ещё для двух узлов.0=-I3+I4+I5(Узел В)                                         0=I3-I1-I2(Узел D)
  2. Произвольно задаёмся обходом контура (по часовой или против часовой). И составляем уравнения для контуров цепи по второму закону Кирхгофа. В данном примере направление обхода контура выберем по часовой стрелке.

 3.1 Смотрим, как направлена ЭДС относительно обхода контура. Если направление обхода контура совпадает, то значение ЭДС записываем со знаком плюс (в левой части уравнения), если не совпадает, то со знаком минус (записываем также в левой части уравнения)

3.2 Смотрим, как направлено падение напряжения на сопротивлении контура.(То есть смотрим как направлены токи, только записываем в уравнение произведение тока на сопротивление через которое ток протекает в данном контуре). Если направление обхода контура совпадает, то падение напряжения записываем со знаком плюс (в правой части уравнения), если не совпадает, то со знаком минус (записываем также в правой части уравнения)

3.3 Произвести действия 3.1 и 3.2 для остальных контуров. У вас должна получится система из n уравнений, где n — количество контуров в цепи.

Контур ABDA E1=I1*(R1+R01)+I4*R4+I3*R3

Контур BCDB E2=I2*(R2+R02)+I3*R3+I5*R5

Контур ABCA 0=I6*R6-I4*R4+I5*R5

  • Решаем полученную систему уравнений и находим величины токов во всех ветвях. 

Уберём лишние токи из системы используя уравнения полученные во втором пункте поскольку у нас три уравнения поэтому мы оставляем только три любых тока. Для данного примера я рекомендую оставить токи I1 I2 I4.

0=I1-I4-I6 (Узел А)

0=-I3+I4+I5(Узел В)

0=I3-I1-I2(Узел D)

Выражаем из трёх уравнений токи I3 I5 I6 через токи I1 I2 I4.

I6=I1-I4(Узел А)

I3=I1+I2(Узел D)

I5=I3-I4(Узел В)

I5=I3-I4(Узел В) В этом уравнении сразу не получилось выразить I5 через токи I1 I2 I4, поэтому вместо тока I3 подставим уравнение для узла D и получим:

I5=I1+I2-I4

Заменим токи I3 I5 I6 и получим уравнения с тремя токами :

 E1=I1*(R1+R01)+I4*R4+(I1+I2)*R3

 E2=I2*(R2+R02)+(I1+I2)*R3+(I1+I2-I4)*R5

 0=(I1-I4)*R6-I4*R4+(I1+I2-I4)*R5

Раскрываем скобки подставляем значения сопротивлений из условия и получаем например вот такие три уравнения:

40 = 71*I1 + 24*I2 + 14*I4

20 = 55*I1 + 93*I2 — 61*I4

0 = 60*I1 + 16*I2 — 81*I4

Дальше для решения системы можно воспользоваться бесплатной онлайн программой на нашем сайте.

  • Если при решении системы ток получается отрицательным (со знаком —), значит его действительное направление противоположно тому направлению которое мы задали в первом действии.
  • Правильность  решения можно проверить с помощью баланса мощностей.

Как найти количество узлов, ветвей, петель и сеток в цепи?

Что такое узел, ответвление, петля и сетка в электрической цепи?

Решая и анализируя электрические схемы и сети, мы должны знать около узлов, ответвлений, петель и сетей в электрической цепи и сети. Во-первых, мы должны знать об узлах, ветвях, петлях и сетках и их роли в электрической цепи. Затем мы можем определить точное количество ветвей, узлов, петель и сеток.

Для этого найдите все эти термины один за другим, выполнив следующие простые шаги.

Рассмотрим следующую простую электрическую схему на рис. 1, которая содержит 7 компонентов или элементов.

What are Nodes, Branches, Loops & Mesh in Electric Circuits? What are Nodes, Branches, Loops & Mesh in Electric Circuits? Рис. 1. Что такое узлы, ответвления, петли и сетка в электрических цепях?

Узел

Точка или соединение, в котором встречаются два или более элемента схемы (резистор, конденсатор, индуктор и т. Д.), Называется узлом . Другими словами, точка соединения между двумя или более ветвями называется узлом.

Поиск узлов в электрических цепях

После перерисовки вышеуказанной схемы она становится такой же, как и эквивалентная схема ниже. Теперь вы можете легко найти общее количество узлов, как показано на рис. 2 ниже, где 6 узлов .

Finding Nodes in Electric Circuits Finding Nodes in Electric Circuits Рис. 2: Поиск узлов в электрических цепях

Ветвь

Та часть или участок цепи, который находится между двумя соединениями, называется ветвью. В ответвлении могут быть соединены один или несколько элементов, и у них есть два вывода.Это может быть любой компонент с двумя клеммами, такой как источник напряжения, источник тока, резистор и т. Д.

Поиск ответвлений в электрических цепях

Схема на Рисунке 3 имеет семь ветвей , а именно источник напряжения «V» и секс-резисторы.

Finding Branches in Electric Circuits Finding Branches in Electric Circuits Рис. 3: Поиск ответвлений в электрических цепях

Петля

Замкнутый путь в цепи, где может быть более двух сеток, известен как петля, т.е. в петле может быть много сеток, но сетка не содержит ни одной петли.Проще говоря, это замкнутый путь в цепи.

Поиск петель в электрических цепях

Петли можно найти с помощью следующей фундаментальной теоремы о топологии схем и сетей

l = b — n + 1

Следовательно, на рис. 4 3 петель .

Finding Loops in Electric Circuits Finding Loops in Electric Circuits Рис. 4: Поиск петель в электрических цепях

Сетка

Замкнутый контур, в котором нет другого контура, или путь, который не содержится на других путях, называется сеткой

Поиск сеток в электрических цепях

Finding Meshes in Electric circuits Finding Meshes in Electric circuits Рис. 5: Поиск сеток в электрических цепях

На рис. 5 показано двух сеток.

Полезно знать: Петля может быть сеткой, но сетка не может быть петлей .

Общая схема с 6 узлами, 7 ветвями, 3 петлями и 2 сетками , показанная на рис. 6.

A circuit with 6 Nodes, 7 Branches, 3 Loops, and 2 Meshes A circuit with 6 Nodes, 7 Branches, 3 Loops, and 2 Meshes Рис. 6: Схема с 6 узлами, 7 ветвями, 3 петлями и 2 сетками

Связанные сообщения:

.Алгоритм

— максимальное и минимальное количество узлов в суффиксном дереве

Переполнение стека

  1. Около
  2. Продукты

  3. Для команд
  1. Переполнение стека
    Общественные вопросы и ответы

  2. Переполнение стека для команд
    Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

  3. Вакансии
    Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

  4. Талант
    Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

  5. Реклама
    Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

  6. О компании

Загрузка…

.

Как найти и пронумеровать самую длинную цепь в разветвленном алкане

  1. Образование
  2. Наука
  3. Химия
  4. Как найти и пронумеровать самую длинную цепочку в разветвленном алкане

Артур Винтер

Алканы не ограничены пребыванием в одной линии — у них могут быть структуры, которые разветвляются. Называя разветвленный алкан, ваш первый шаг — найти и пронумеровать самую длинную цепь.

После того, как вы пронумеровали родительскую цепь, если вы хотите назвать разветвленный алкан, вам необходимо определить имена всех заместителей, которые выступают из родительской цепи, а затем расположить заместители в алфавитном порядке перед родительской цепью.

На этом рисунке показан пример разветвленного алкана. Как видите, алкан с формулой C 4 H 10 может иметь две возможные химические структуры или изомеров — один алкан с прямой цепью (бутан) и один алкан с разветвленной цепью (изобутан).

Изомеры C 4 H 10 .

Найдите самую длинную цепь в разветвленном алкане

Первый и, возможно, самый сложный шаг для определения разветвленного алкана — это найти самую длинную цепочку атомов углерода в молекуле. Эта задача может быть сложной, потому что, как читатель английского языка, вы привыкли читать слева направо. Однако часто самая длинная цепочка атомов углерода — это не цепь, которая следует просто слева направо, а цепочка, которая огибает молекулу в разных направлениях.Профессора органического происхождения любят делать родительскую цепь такой, которая изгибается вокруг молекулы и не обязательно течет слева направо, поэтому вам нужно быть в напряжении, чтобы убедиться, что вы заметили самую длинную углеродную цепь.

Неправильный и правильный способы подсчета родительской цепочки.

Самая длинная углеродная цепь показанной здесь молекулы состоит из семи атомов углерода, поэтому исходное название этого алкана — гептан.

Номер самой длинной цепи в разветвленном алкане

Пронумеруйте родительскую цепь, начиная с конца, который первым достигает заместителя.Цепочку всегда можно пронумеровать двумя способами. Для молекулы в этом примере нумерация может начинаться сверху и идти вниз, или она может начинаться снизу и идти вверх. Правильный способ пронумеровать родительскую цепь — начинать с конца, который раньше достигает первого заместителя. Заместитель органически обозначает фрагмент, отходящий от родительской цепи.

Правильный и неправильный способы нумерации атомов углерода в родительской цепи.

Как вы можете видеть здесь, если вы пронумеруете сверху вниз, первый заместитель будет у атома углерода номер три; если вы нумеруете снизу вверх, первый заместитель будет у атома углерода номер четыре.Таким образом, правильная нумерация в этом случае начинается сверху и идет вниз.

Об авторе книги

Артур Винтер окончил Фростбургский государственный университет, где получил степень бакалавра химии. Он получил докторскую степень в Университете Мэриленда в 2007 году. В настоящее время он является профессором химии в Университете штата Айова.

.Алгоритм

— Доказательство количества внутренних узлов в дереве

Переполнение стека

  1. Около
  2. Продукты

  3. Для команд
  1. Переполнение стека
    Общественные вопросы и ответы

  2. Переполнение стека для команд
    Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами

  3. Вакансии
    Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста

  4. Талант
    Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

  5. Реклама
    Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *