Треугольник в пространстве: Преобразования в трехмерном пространстве

Разное

Содержание

Преобразования в трехмерном пространстве

Система координат

 

При работе с трехмерной графикой используется несколько видов систем координат. Для отображения двумерных объектов нам была нужна соответствующая система координат с двумя осями – горизонтальной осью X и вертикальной осью Y. Напомним, что экранная система координат для двумерной графики имеет начало (точку 0,0) в левом верхнем углу монитора, положительная часть оси X располагается справа от начала координат, положительная часть оси Y – снизу.

Для работы с трехмерными объектами нам понадобится еще одна ось – она называется ось Z. Существует несколько вариантов трехмерных систем координат, в частности, распространены так называемые правосторонняя и левосторонняя системы. Мы будем пользоваться правосторонней системой – она применяется в XNA Framework. Её схематичное изображение приведено на рис. 1.

 

 

Рис. 1. Правосторонняя система координат

 

Особенность этой системы координат заключается в том, что начало координат можно сопоставить с левым нижним углом монитора, положительная часть оси X находится справа от начала координат, положительная часть оси Y – сверху, а положительная часть оси Z – спереди. А это значит, что видимая часть оси Z – это её отрицательная часть. Эта часть оси находится как бы «в глубине монитора», в то время, как положительная часть находится «спереди монитора». На рис. 1. пунктиром изображена отрицательная часть оси Z.

В двумерной системе координат существует понятие точки – ее координаты задаются двумя значениями – X и Y. Точки существуют и в трехмерной системе координат – они задаются уже тремя значениями – X, Y, Z.

Точки используют для того, чтобы задавать координаты вершин многоугольников (полигонов), в частности – треугольников. Так, треугольник, изображенный на рис. 1., задан тремя точками – A, B, C.

Как правило, более сложные трехмерные объекты строятся именно из треугольников.

В трехмерной графике существует такое понятие, как грань (face). Это – плоский объект, который определяют несколько вершин. В нашем случае обычный треугольник – это именно грань. Из нескольких плоских граней можно собрать объемный объект.

Чем больше треугольников использовано при построении модели – тем более детализированной она получается. Точки, соответствующие вершинам треугольника, который можно изобразить в трехмерном пространстве, называются вершинами. Возможно, вам встретится множественное число слова вершина: «вершины» выглядит по-английски как «vertices». Иногда для обозначения вершин используют кальку с английского – вертекс.

Треугольник не случайно выбран в качестве базовой геометрической фигуры – во-первых – этот многоугольник всегда является выпуклым, во-вторых – невозможно расположить три точки таким образом, чтобы они не принадлежали одной плоскости. То есть, треугольник – это фигура, которая всегда является выпуклой и плоской, что позволяет с успехом использовать его в целях трехмерной графики.

Несколько граней, из которых состоит трехмерный объект, называются сеткой (mesh). «Сетка» представляет собой набор треугольников.

Еще одно понятие, которое пригодится вам при работе с трехмерной графикой – это понятие вектора. Вектор (vector), так же как и точка, может быть определен тремя параметрами, однако он описывает не положение в пространстве, а направление и скорость движения.

Вектор имеет начало и конец, для его полного определения нужно знать координаты точки начала и конца вектора, то есть, вместо трех значений координат нам понадобится уже шесть значений. Однако, если по умолчанию принять за начало вектора начало координат (точку 0,0,0) – тогда для его определения хватит и трех точек.

Например, вектор с координатами (1,0,0) означает: «направление – вправо, скорость – 1». Если отложить этот вектор от начала координат, то хорошо видно, что он направлен именно вправо (рис. 2.).

Направление вектора определяется положением второй точки относительно первой (в нашем случае – положение точки конца вектора, которой задается вектор относительно начала координат), а скорость – длиной вектора – то есть – разницей между начальной и конечной точкой. В нашем случае длина вектора совпадает с координатами его конца.

 

 

Рис. 2. Вектор (1,0,0)

 

Существует особый вид векторов – нормали (normals). Нормали могут быть построены для граней и для вершин объекта. Нормали для граней перпендикулярны этим граням. Они используются при расчете цвета объекта.

 

Преобразования в трехмерном пространстве

 

Зная координаты вершин полигонов, из которых состоит объект, мы можем расположить его в пространстве. Теперь нужно разобраться с изменением положения объектов в пространстве. Существует несколько основных операций, которые могут использоваться для перемещения объектов в трехмерном пространстве. Это – перемещение (translation), вращение (rotation) и масштабирование (scale).

Результаты работы графической подсистемы трехмерной игры мы видим на плоском экране монитора – смоделированная компьютером трехмерная сцена проецируется на двумерную поверхность. При проецировании нужно выбрать точку, которая выполняет роль камеры, позволяющей видеть трехмерное пространство. В свою очередь, объекты в трехмерном пространстве могут перемещаться в соответствии с определенными правилами. Для управления всем этим используются несколько матриц. Это – мировая матрица (World Matrix), матрица вида (View Matrix) и матрица проекции (Projection Matrix).

Матрицу можно представить в виде таблицы, состоящей из m строк и n столбцов. В компьютерной графике применяются матрицы 4х4. Первых три столбца этой матрицы отвечают за модификацию координат X, Y, Z вершин объекта, участвующего в трансформации.

Мировая матрица позволяет задавать преобразования – перемещения, вращения и трансформации объектов.

Матрица вида позволяет управлять камерой.

Матрица проекции служит для настройки проекции трехмерной сцены на экран.

 

Предположим, имеется треугольник, заданный следующими вершинами (табл. 1.).

Таблица 1. Вершины треугольника до перемещения

Вершина X Y Z

1 20 10 5

2 15 20 10

3 25 30 10

 

При перемещении этого треугольника на 10 позиций по оси X мы должны прибавить по 10 к каждой из координат X его вершин. В результате получится матрица такого вида (табл. 2.).

Таблица 2. Вершины треугольника после перемещения

Вершина X Y Z

1 30 10 5

2 25 20 10

3 35 30 10

 

Того же эффекта можно достичь, умножив координаты каждой из вершин на мировую матрицу. Для этого координаты вершины представляют в виде матрицы, состоящей из одной строки и четырех столбцов. В первых трех столбцах содержатся координаты X, Y, Z, в четвертом – 1. Мировая матрица представлена в виде таблицы 4х4. Вот как выглядит операция умножения матриц (формула 1.):

 

Формула 1. Умножение матрицы вершины и мировой матрицы

При преобразовании каждая из вершин умножается на мировую матрицу.

Каждое из преобразований в пространстве требует особой настройки мировой матрицы. В формуле 2. приведен шаблон мировой матрицы, которая позволяет перемещать объекты в пространстве.

 

Формула 2. Мировая матрица для перемещения объекта

 

Здесь ΔX ,ΔY и ΔZ — это приращения координат X, Y и Z.

Мировая матрица для вращения объектов вокруг оси Х выглядит так (формула 3.).

 

Формула 3. Мировая матрица для вращения по оси Х

 

Здесь α — угол поворота в радианах

Мировая матрица для вращения объектов по оси Y выглядит так (формула 4.)

 

Формула 4. Мировая матрица для вращения по оси Y

 

Матрица для вращения объектов вокруг оси Z приведена в формуле 5.

 

Формула 5. Мировая матрица для вращения по оси Z

 

Формула 6. представляет матрицу, которая служит для трансформации объектов.

φx, φy ,φz — это коэффициенты масштабирования, которые применяются к вершинам. Они позволяют «сжимать» или «растягивать» объекты.

Другие типы матриц:

Матрица вида влияет на положение камеры – точки, из которой осуществляется просмотр трехмерной сцены.

Матрица проекции позволяет управлять проецированием сцены на экран.

Первый – это перспективная проекция (Perspective projection). В этой проекции объекты выглядят так же, как мы привыкли их видеть в реальном мире. Объекты, которые расположены дальше, кажутся меньше объектов, расположенных ближе.

Второй вид проекции – это ортогональная проекция. Здесь объекты проецируются на плоскость экрана без учета перспективы.

 

Освещение

 

Освещение объектов в играх исполняет ту же роль, которая отведена ему в реальном мире. Существует множество типов освещения.

Окружающий рассеянный свет (ambient light) — это свет, который освещает все объекты сцены с одинаковой интенсивностью. Источник рассеянного света не имеет местоположения.

Точечный источник света (point light) – это источник, который излучает свет во всех направлениях. Его можно сравнить со светом, исходящим от лампочки, не прикрытой абажуром.

Направленный источник света (directional light). Этот источник, в отличие от точечного, не имеет местоположения, однако имеет ориентацию

Зональный источник света (spot light) или прожектор имеет местоположение, ориентацию, а его световой поток ограничен в форме конуса.

Источники света могут иметь различную интенсивность, различный цвет, при освещении сцен можно использовать несколько различных источников. Все это делает освещение важнейшим элементом трехмерной графики.

 

Шейдеры

 

Шейдеры, или шейдерные программы – это программы, которые позволяют применять к моделям различные эффекты. Они пишутся на специальном языке программирования, как правило, не вручную, а с использованием соответствующего ПО. Шейдеры делятся на вершинные и пиксельные. Вершинные шейдеры позволяют применять различные эффекты к вершинам моделей, пиксельные шейдеры обрабатывают цвет каждого из пикселей модели перед выводом её на экран.

 

 

Текстуры

 

Текстуры – это растровые (двумерные) изображения, которые накладываются на трехмерные модели. Например, трехмерная модель автомобиля может представлять собой автомобиль, который как бы «вырезан» из твердого материала, а после наложения на эту модель соответствующей текстуры автомобиль приобретает цвет, создается иллюзия наличия у него мелких деталей оформления и т.д. Минимальная единица текстуры называется текселем. Чем больше пикселей приходится на один тексель, чем большьше разрешение текстуры – тем более качественной будет выглядеть модель после наложения на нее текстуры.

Узнать еще:

Точка и треугольник.

(В ПРОСтРАНСТВЕ)

 
Agent[007]
 
(2003-11-02 12:53)
[0]

У меня есть некая точка (x0, y0, z0) и треугольник(а соответственно и плоскость)(x1,y1,z1; x2,y2,z2; x3,y3,z3)

Расстояние от точки до плоскости измеряется так:



A=(y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)(z2-z1)

B=(x3-x1)(z2-z1)-(x2-x1)(z3-z1)

C=(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)

D=-(A+B+C)

расстояние = abs(A*x0 + B*y0 + C*z0 + D) / sqrt(A*A + B*B + C*C)

Но это для плоскости(бесконечной)…

Вот вопрос:

Как определить лежит ли проэкция точки на это плоскость в этом треугольнике?

PS: Если кто знает способ проверки пересечения ШАРА с ТРЕУГОЛЬНИКОМ, то скажите, пожалуйста…

PPS: Если не трудно, скажите, что такое НОРМАЛЬ и почему вектор задается всего-лишь тремя координатами, а не шестью (начало, направление). ..


 
Думкин
 
(2003-11-02 13:41)
[1]

1.Насчет координат проекции точки на плоскость.Было недавно в Играх или Медиа. Недалеко от начала.

2. После нахождения координат этой точки — надо подумать.

Или можно так:

1. Через прямые образующие треугольник провести плоскости перпендекулярные плоскости треугольника.

2. Подставить координаты точки в правую часть этих уравнений. Получится 3 числа. Знаки этих чисел определят положение точки. Но какие знаки и как — тут вопрос тоньше.

Если положительный знак, то точка лежит в одном полупространстве с вектором нормали к плоскости, который фигурирует в записи уравнения.

Ax+By+Cz+D (A,B,C). Но так как уравнение задается с точностью до знака, то тут и тонкость.

Тебе надо определить — лежат ли точка и третья вершина в одной полуплоскости — исходя из сказанного. И так для всех трех вершин.

3. Принадлежит ли точка шару или нет — это просто. Теперь если есть пара вершин, т. что одна внутри а другая снаружи — то ….

4. Тут путаница. Есть разные вектора — это если по старому, старому и упрощенно.

Одни — это плавающие — они определяют направление и длину(ну типа).

Другие — это когда ты его привяжешь к точке — тут 6 величин.

Нормаль — вектоор который перпендикулярен люому к чему он нормаль. Или иначе скалярка = 0.

P.S. Почитай чего-нить по аналитической геометрии. Александрова например.


 
nikkie
 
(2003-11-02 14:19)
[2]


>3. Принадлежит ли точка шару или нет — это просто. Теперь если есть пара вершин, т. что одна внутри а другая снаружи — то ….

ну это точно не так. например, могут все три точки лежать снаружи, но треугольник будет пересекаться со сферой.

вроде очевидно, что какая-то из вершин будет наиболее удаленной точкой от центра. поэтому перебрав их, им определим есть ли точки треугольника вне сферы. если она внутри треугольника — пересечения нет. иначе надо искать проекцию центра сферы на плоскость треугольника. если он оказывается внутри треугольника — это самая близкая точка треугольника. в противном случае — надо искать проекции центра на стороны треугольника, если проекция попадает внутрь отрезка — ок, иначе надо рассматривать вершины треугольника. в результате мы находим ближайшую точку — если она внутри сферы, значит пересечение есть. она снаружи — пересесчения нет.


 
DiamondShark
 
(2003-11-02 16:21)
[3]

>>и почему вектор задается всего-лишь тремя координатами, а не шестью (начало, направление)…

По определению.


 
Думкин
 
(2003-11-02 17:13)
[4]




> [2] nikkie © (02. 11.03 14:19)

> >3. Принадлежит ли точка шару или нет — это просто. Теперь

> если есть пара вершин, т. что одна внутри а другая снаружи

> — то ….

> ну это точно не так. например, могут все три точки лежать

> снаружи, но треугольник будет пересекаться со сферой.



Нет. То что у меня — так. Просто это не охватило все случаи. Поэтому не надо так категорично —
точно не так.


 
Думкин
 
(2003-11-02 17:33)
[5]




> [1] Думкин © (02.11.03 13:41)

> Тебе надо определить — лежат ли точка и третья вершина в

> одной
полуплоскости — исходя из сказанного



Извиняюсь — описка — я имел в виду полупространство.


 
uw
 
(2003-11-02 22:09)
[6]

>Agent[007] © (02. 11.03 12:53)

Уравнения перпендикуляра к плоскости, проходящего через точку (x0, y0, z0), выглядят примерно так:

(x – x0)/A = (y – y0)/B =(z-z0)/C.

Пересечение этой прямой и плоскости решается в лоб, получается точка (Ox, Oy, Oz). Она, естественно, лежит в одной плоскости с вершинами тр. DEF. Теперь нужно понять, лежит ли точка O по одну сторону с вершиной F относительно стороны DE. Решаем пересечение прямых DE и OF, получаем точку (Kx, Ky, Kz). Если выполняется условие Fx < Ox < Kx или Kx < Ox < Fx, то точки O и F лежат по одну сторону от стороны DE, и точка O может быть внутри треугольника. Теперь делаем то же самое с двумя другими сторонами и соответствующими вершинами. Если точка О лежит по одну сторону со всеми вершинами относительно соответствующих сторон, то наша точка внутри треугольника.

Все уравнения линейные, поэтому все решается.


 
Думкин
 
(2003-11-03 05:22)
[7]

1. По поводу принадлежности проекции — все сказано. Только самое простое вижу в описанных мной полупространствах.

2. По поводу треугольника и шара. Есть функция расстояния до центра шара.

Ищем ее максимум и минимум в треугольнике. Если точка максимума вне, а минимума внутри — то ответ ясен, иначе тоже. Точки экстремумма есть — ибо треугольник компактное множество, а функция непрерывна.


 
nikkie
 
(2003-11-03 13:03)
[8]

>Думкин

1. по-моему, самый простой способ проверки того, что точка O лежит внутри треугольника ABC — через вычисление скалярных произведений [OA x OB], [OB x OC], [OC x OA] — они должны быть одинаково направлены, т.е. попарные скалярные произведения должны быть больше 0.

2. понятное дело, надо искать максимум и минимум — вопрос в алгоритме. максимум достигается в какой-то вершине, а минимум — либо в основании проекции, если она лежит внутри треугольника, либо на границе. с границей получается такая же ситуация — либо основание проекции на сторону, либо вершина. получается то, что я описал в [2].


 
uw
 
(2003-11-03 14:25)
[9]

>nikkie © (03.11.03 13:03) [8]

Да, это хорошее решение.


 
ИдиотЪ
 
(2003-11-03 14:29)
[10]

самый простой способ проверки того, что точка O лежит внутри треугольника ABC — вычисление так называемых треугольных координат. Если точка лежит внутри, то все координаты в пределах от 0 до 1.


 
Думкин
 
(2003-11-03 15:05)
[11]




> nikkie © (03.11.03 13:03) [8]

> >Думкин

> 1. по-моему, самый простой способ проверки того, что точка

> O лежит внутри треугольника ABC — через вычисление скалярных

> произведений [OA x OB], [OB x OC], [OC x OA] — они должны

> быть одинаково направлены, т. е. попарные скалярные произведения

> должны быть больше 0.



Но при этом ты ищешь проекцию — я ее не ищу.


 
ShaggyDoc
 
(2003-11-03 15:18)
[12]


http://algolist.manual.ru/maths/geom/belong/


 
Думкин
 
(2003-11-03 16:21)
[13]




> [8] nikkie © (03.11.03 13:03)



А если так, то можно и так:

[PA x PB], [PB x PC], [PC x PA] и составляем скалярные произведения этих векторов с вектором нормали к треугольнику. Если все 3 числа одного знака — то внутри.

То есть есть 3 метода. А вот какой из них будет производительней?

> [10] ИдиотЪ © (03.11.03 14:29)

Нужна не точка а проекция.

> [12] ShaggyDoc (03. 11.03 15:18)

Речь об ином.


 
uw
 
(2003-11-03 16:29)
[14]

>Думкин © (03.11.03 15:05) [11]

>Но при этом ты ищешь проекцию — я ее не ищу.

А что ты вообще ищешь? Растолкуй суть твоих пунктов:

>1. Через прямые образующие треугольник провести плоскости перпендекулярные плоскости треугольника.

>2. Подставить координаты точки в правую часть этих уравнений. Получится 3 числа. Знаки этих чисел определят положение точки. Но какие знаки и как — тут вопрос тоньше.

Т.е. мы имеем три уравнения трех плоскостей. Дальше, что куда подставляем? x0 — в правую часть первого уравнения, y0 — в правую часть второго уравнения и т.д.? Что это означает?


 
ИдиотЪ
 
(2003-11-03 16:35)
[15]

ту Думкин ©

хорошо, можно проверить любую точку, в том числе и проекцию, ее ведь найти нетрудно ?


 
uw
 
(2003-11-03 16:41)
[16]

>Думкин © (03. 11.03 16:21) [13]

А это совсем хорошо — и уравнений никаких не нужно.


 
Думкин
 
(2003-11-03 17:17)
[17]


> [14] uw © (03.11.03 16:29)

Это означает:

1. А что тут непонятно?

2. У нас три урния вида Ax+By+Cz+D=0. Кажде такое делит пространство на три части — 2 полупространства и саму плоскость. Принадлежность точек разным полупространствам определяется разными знаками выражений Ax0+By0+Cz0+D — остальная идея прозрачна. Или нет?

> [16] uw © (03.11.03 16:41)

Оно так, но мне кажется, что в первом случае — вычислений меньше — хотя не проверял. Вполне возможно в третьем еще меньше — надо посмотреть.

> [15] ИдиотЪ © (03.11.03 16:35)

Это вряд ли будет проще.

Да можно — способ описан и в

> [1] Думкин © (02.11.03 13:41)> 1. Насчет координат проекции точки на плоскость.Было недавно в Играх или Медиа. Недалеко от начала.

и в
> [6] uw © (02.11.03 22:09) — что одно и тоже.


 
uw
 
(2003-11-03 17:44)
[18]

>Думкин © (03.11.03 17:17) [17]

Понял. Только уравнения трех плоскостей, вроде, не автоматически пишутся.


 
Думкин
 
(2003-11-04 05:39)
[19]




> [18] uw © (03.11.03 17:44)



А что здесь автоматически пишется? Просто это не представляет вопроса — один детерминант и все. А при поиске проекции — без них(детов) тоже никуда.


Треугольник (в геометрии) — это… Что такое Треугольник (в геометрии)?

Треугольник (в геометрии)
Треугольник прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Т. ), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Т.). Т., у которого длины всех сторон равны, называется равносторонним, или правильным (рис., 1), Т. с двумя равными сторонами ‒ равнобедренным (рис., 2). Т. называется остроугольным (рис., 3), если все углы его острые; прямоугольным (рис., 4) ‒ если один из его углов прямой; тупоугольным (рис., 5) ‒ если один из его углов тупой. Более одного прямого или тупого угла Т. иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, p). Площадь Т. равна ah/2, где а ‒ любая из сторон Т., принимаемая за его основание, a h ‒ соответствующая высота (рис., 6). Стороны Т. подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон. Два Т. конгруэнтны (равны), если они имеют равными (попарно) все стороны или две стороны и угол между ними, или сторону и два прилежащих угла. Числовые соотношения между углами и сторонами Т. изучаются в тригонометрии. О Т. на сфере см. Сферическая геометрия. Сферическая тригонометрия.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
1969—1978.

  • Третьяковы
  • Треугольник (муз. инструмент)

Смотреть что такое «Треугольник (в геометрии)» в других словарях:

  • ТРЕУГОЛЬНИК (в геометрии) — ТРЕУГОЛЬНИК, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (сторонами треугольника), имеющими попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Сумма всех углов треугольника равна двум прямым (180°). Площадь треугольника S=1/2 ah, где …   Энциклопедический словарь

  • ТРЕУГОЛЬНИК — (1) простейшая плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами Т., а отрезки его сторонами. Углами Т. (точнее, его внутренними углами)… …   Большая политехническая энциклопедия

  • Треугольник — Предположим, что на какой нибудь поверхности даны триточки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей (геодезической)линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру,называемую треугольником. Точки А, В и С наз. вершинами, а… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия

  • ТРЕУГОЛЬНИК — в евклидовой плоскости три точки (вершины) и три отрезка прямых (стороны) с концами в этих точках. Иногда при определении Т. к нему относят и выпуклую часть плоскости, к рая ограничена сторонами Т. Понятие Т. вводится и в многообразиях, отличных… …   Математическая энциклопедия

  • Треугольник — Предположим, что на какой нибудь поверхности даны три точки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей (геодезической) линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру, называемую треугольником. Точки А, В и С наз. вершинами,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Пятая аксиома в евклидовой геометрии — Пересечения прямых (анимация) Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида [1]: И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и …   Википедия

  • Полярный треугольник — понятие сферической геометрии. Полярным для данного сферического треугольника называется такой сферический треугольник, по отношению к сторонам которого вершины данного треугольника являются полюсами. Полюсом называется одна из двух точек… …   Википедия

  • ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — фигура, состоящая из трех различных точек и попарно соединяющих их геодезических линий. Точки наз. вершинами, геодезические сторонами. Г. т. может рассматриваться в любом пространстве, где есть геодезические. Если стороны Г. т., лежащего в… …   Математическая энциклопедия

  • СФЕРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — СФЕРИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, образованный пересечением на поверхности СФЕРЫ дуг трех больших ОКРУЖНОСТЕЙ (имеющих тот же РАДИУС, что и сфера). Стороны сферических треугольников измеряются в углах, которым эти дуги противолежат из центра… …   Научно-технический энциклопедический словарь

Книги

  • О доказательстве в геометрии, А.И. Фетисов. Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них перешла в шестой класс, младшая в пятый. Девочки делились своимивпечатлениями об уроках,… Подробнее  Купить за 1614 грн (только Украина)
  • О доказательстве в геометрии, Фетисов А.И.. Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них перешла в шестой класс, младшая — в пятый. Девочки делились своими впечатлениями об уроках,… Подробнее  Купить за 1436 руб
  • Фигуры в математике, физике и природе. Квадраты, треугольники и круги, Шелдрик-Росс Кэтрин. О книге Фишки книги Более 75 необычных мастер-классов помогут превратить изучение геометрии в увлекательную игру В книге максимально подробно описаны главные фигуры: квадраты, круги и… Подробнее  Купить за 1206 руб

Другие книги по запросу «Треугольник (в геометрии)» >>

Определите, находится ли точка внутри треугольника в пространстве 3D

У меня есть треугольник 3D, который представлен 3x 3D вершинами.

Я ищу алгоритм, который должен отвечать следующим требованиям:

  1. точка лежит на той же плоскости, что и треугольник и
  2. что точка находится в границах указанного треугольника

например:

c++

algorithm

geometry

Поделиться

Источник


user3030712    

22 марта 2015 в 13:45

2 ответа


  • Определите, находится ли точка внутри треугольника, образованного 3 точками с заданной широтой/долготой

    У меня есть 3 точки (lat , lon), которые образуют треугольник. Как я могу найти, если точка находится внутри этого треугольника?

  • определите, лежит ли точка внутри треугольника

    Программа должна считывать значения трех координат P1(x1, y1) P2(x2, y2) P3(x3, y3) а также другую координату P (x, y) и определить, находится ли эта точка внутри треугольника, образованного из 3-х точек выше.



2

Определите базисные векторы b = AB, c = AC и n = b x c (векторное произведение), где A, B, C-координаты вершин треугольника

Представим координату точки P в этом базисе, решая систему линейных уравнений (неизвестные t, u, v). Здесь подходит метод исключения Гаусса .

t * b.X + u * c.X + v * n.X = P.X
t * b.Y + u * c.Y + v * n.Y = P.Y
t * b.Z + u * c.Z + v * n.Z = P.Z

Точка ‘inside’ в соответствии с вашей фотографией, если

0 <= t <= 1
0 <= u <= 1
and
t + u <= 1

Поделиться


MBo    

22 марта 2015 в 14:00



1

Предположим , что ABC — это ваш треугольник,и чтобы узнать, находится ли точка на той же плоскости, что и треугольник ABC, мы можем использовать перекрестное и точечное произведение. Если точка P находится в одной плоскости, то,

(P-A).( (B-A)x(C-A) ) = 0 
here [.] is dot product and [x] is cross product.
A, B, C are co ordinates of vertex of the triangle

Для (2) проще всего использовать Барицентрическую координату , чтобы узнать, находится ли точка внутри или на границе треугольника. Любая точка P внутри треугольника может быть представлена в виде

P = a*A + b*B + c*C where 0 <= a, b, c <= 1 and a+b+c = 1 
(on boundary if at least one of a,b,c is zero)
Now, we can write, a = 1 - b - c.
   P = (1-b-c)*A + b*B + c*C
=> P-A = b*(B-A) + c*(C-A) 

Предположим, X = P-A, Y = B-A, Z = C-A. Тогда уравнение становится,

X = b*Y + c*Z
taking dot product with Y and Z, we get
X.Y = b*(Y.Y) + c*(Z.Y)
X.Z = b*(Y.Z) + c*(Z.Z)
define x1 = X.Y, y1 = Y.Y, z1 = Z.Y, 
       x2 = X.Z, y2 = Y.Z, z2 = Z.Z 

Теперь мы должны решить следующее линейное уравнение с двумя неизвестными.

x1 = b*y1 + c*z1
x2 = b*y2 + c*z2

решая эти два уравнения, мы получаем,

b = (x1*z2 - x2*z1)/(y1*z2-y2*z1)
c = (-x1*y2 + x2*y1)/(y1*z2-y2*z1)
a = 1 - b - c

Then we can easily check if a,b,c satisfies the condition. 
(actually checking 0 <= b,c <= 1 and b+c <= 1 is enough)

Поделиться


t.muttaqueen    

25 июля 2019 в 20:32


Похожие вопросы:

Определите, находится ли точка 3D внутри треугольника

Учитывая 3D точки (x, y & z) и треугольник, состоящий из трех других 3D точек, как я могу определить, находится ли эта точка в треугольнике? Я много читал об этом в 2D, самым полезным из них…

Как я могу узнать, находится ли точка внутри треугольника в 3D?

Мне нужен алгоритм (3D), который определил бы, принадлежит ли точка треугольнику. А также, если это так, я хочу знать расстояние между какой-то точкой треугольника и другой точкой. Треугольники…

Определите, находится ли точка 3D внутри окружности 2D

Я хочу определить,находится ли точка P(x,y, z) внутри окружности 2D в пространстве 3D, определяемом ее центром C (cx, cy, cz), радиусом R и нормалью к плоскости, на которой лежит окружность N. Я…

Определите, находится ли точка внутри треугольника, образованного 3 точками с заданной широтой/долготой

У меня есть 3 точки (lat , lon), которые образуют треугольник. Как я могу найти, если точка находится внутри этого треугольника?

определите, лежит ли точка внутри треугольника

Программа должна считывать значения трех координат P1(x1, y1) P2(x2, y2) P3(x3, y3) а также другую координату P (x, y) и определить, находится ли эта точка внутри треугольника, образованного из 3-х…

Определите, находится ли точка внутри треугольника в 3D

Я ищу подтверждение своего восприятия метода определения того, находится ли точка внутри треугольника или нет в 3D. Учитывая луч в форме R(t) = e + td и набор из трех точек T = {V0, V1, V2}, который…

Определите, находится ли точка в Кубе 3D

Мне нужно самое лучшее решение, и, если возможно, не грязный код, а скорее какой-то умный код. Я не знаком с программированием 3D. Я должен написать функцию, которая будет возвращать, если точка…

Нахождение расстояния точки от треугольника в пространстве 3d

Представьте себе поверхность треугольника в декартовом пространстве. Как я могу найти расстояние данной точки от поверхности этого треугольника? Пункт 1: [ 30, 24, 22 ] Пункт 2: [ 35, 13, 19 ] Пункт…

Как определить, лежит ли точка OVER треугольника в 3D

Мне нужен пример быстрого алгоритма, позволяющего вычислить, лежит ли точка над треугольником в 3D. Я имею в виду, если проекция этой точки на плоскость, содержащую данный треугольник, находится…

Как найти, лежит ли точка в пространстве 3D внутри усеченного конуса?

Как я могу определить, находится ли точка внутри конуса или нет, в пространстве 3D? не поможет, потому что усеченный конус может быть цилиндром. Я попробовал другой метод, который включает в себя…

Стереометрия (Геометрия в пространстве) — Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы — Математика

Оглавление:

 

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

К оглавлению…

Некоторые определения:

  1. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
  2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.
  3. Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
  4. Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.
  5. Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
  6. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
  7. Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.
  8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).
  9. Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.
  10. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).
  11. Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
  12. Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

  • Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
  • Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
  • Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

 

Построение сечений в стереометрии

К оглавлению…

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

  • Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
  • Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
  • Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

  1. Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β.

  1. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l1, по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l.

 

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

К оглавлению…

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b, либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

  • Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  • Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
  • Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

  • Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
  • Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
  • Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
  • Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α) проходит через прямую (на рисунке – с), параллельную другой плоскости (на рисунке – β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d) параллельна данной прямой:

 

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
  • Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a1 и b1, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a1 и b1.

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a1 параллельна a). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a1 и b).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b, то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
  • Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
  • Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β, то пишут, как обычно:

Теоремы:

  • Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
  • Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
  • Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

 

Теорема о трех перпендикулярах

К оглавлению…

Пусть точка А не лежит на плоскости α. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α, а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.  Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

  • две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
  • из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

  • Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
  • Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
  • Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
  • Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

 

Двугранный угол

К оглавлению…

Определения:

  • Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
  • Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

  • Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
  • Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
  • Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

 

Симметрия фигур

К оглавлению…

Определения:

  1. Точки M и M1 называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM1.
  2. Точки M и M1 называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна ему.
  3. Точки M и M1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна этому отрезку.
  4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

 

Призма

К оглавлению…

Определения:

  1. Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
  2. Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
  3. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
  4. Боковая поверхность – объединение боковых граней.
  5. Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
  6. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
  7. Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
  8. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
  9. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
  10. Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
  11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: Sосн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A2B2C2D2E2).
  • Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Sсеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA1 или BB1 и так далее).

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Pсеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

  • Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
  • Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: Pосн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = Sоснh = Sоснl.

  • Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

  1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
  2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
  4. Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

К оглавлению…

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

  • Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
  • Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
  • У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
  • Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
  • Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
  • Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = Sоснh).
  • Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным. Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
    • Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

d2 = a2 + b2 + c2.

    • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда:

  • Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
    • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
    • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

  • Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

 

Пирамида

К оглавлению…

Определения:

  • Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

  • Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.
  • Грани, отличные от основания, называются боковыми. На чертеже это: ABC, ACD, ADE и AEB.
  • Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A.
  • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. На чертеже это: AB, AC, AD и AE.
  • Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE.

  • Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
  • Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF.
  • Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE.

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA, SB, SC, SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

  • Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O). Иными словами, высота (отрезок SO), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т.е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
  • Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN, DKN, DLN на чертеже ниже равны), то:

  • В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N). Иными словами, высота (отрезок DN), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т. е. в точку пересечения биссектрис основания.
  • Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK, DL, DM – равные апофемы.
  • Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

 

Правильная пирамида

К оглавлению…

Определение: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

  • В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
  • В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
  • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Формулы для объема и площади пирамиды

К оглавлению. ..

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: Sосн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

  • Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: Sбок – площадь боковой поверхности, S1, S2, S3 – площади боковых граней.

  • Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

 

Тетраэдр

К оглавлению…

Определения:

  • Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
  • Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
    1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
    2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
    3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC, ADC, CBD, BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

 

Прямоугольная пирамида

К оглавлению…

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

 

Усечённая пирамида

К оглавлению…

Определения и свойства:

  • Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
  • Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A1B1C1.
  • Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA1B1B.
  • Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA1.
  • Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
  • Усеченная пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
  • Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
  • Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
  • Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S1 и S2 – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P1 и P2 – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

 

Пирамида и шар (сфера)

К оглавлению…

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О, равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = = = OD = OA. Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО1

 

Пирамида и конус

К оглавлению…

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 

Пирамида и цилиндр

К оглавлению…

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

 

Сфера и шар

К оглавлению…

Определения:

  1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
  2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
  4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
  8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

  1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Многогранники и сфера

К оглавлению…

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

 

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению…

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

 

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению. ..

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r1, r2 − радиусы оснований шарового слоя, S1, S2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

 

Цилиндр

К оглавлению…

Определения:

  1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

  1. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
  3. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
  4. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
  5. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
  6. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
  7. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
  10. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
  11. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

 

Цилиндр и призма

К оглавлению…

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

 

Цилиндр и сфера

К оглавлению…

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра Sполн. цилиндра вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

 

Конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
  3. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  4. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
  5. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
  6. Радиусом конуса называется радиус его основания.
  7. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
  8. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: Sосн = πR2. Следовательно, площадь полной поверхности конуса Sполн. конуса вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

 

Усеченный конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

  1. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.
  2. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
  4. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
  5. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S1 = πr12 и S2 = πr22 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r1 и r2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P1 = 2πr1 и P2 = 2πr2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

 

Конус и сфера

К оглавлению…

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

 

Конус и пирамида

К оглавлению…

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в ранее здесь.

Треугольники — геометрия и искусство

Треугольник — это простейшая фигура: три стороны и три вершины. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольников. Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Правда, верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу. В одном египетском папирусе 4000-летней давности говорится, что площадь равнобедренного треугольника равна произведению половины основания на боковую сторону (а не на высоту).

Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника ведется очень активно. Пифагор открывает свою теорему. Герон Александрийский находит формулу, выражающую площадь треугольника через его стороны; становится известным, что биссектрисы, как меридианы и высоты, пересекаются в одной точке.

Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения, лежат, на одной окружности». Эта окружность получила название «окружности девяти точек». Ее центр оказался в се-редине отрезка, соединяющего точку пересечения высот с центром описанной окружности.

Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой. Ему приписывает такую красивую, с теорему: «Если на  сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника». Этот треугольник называется внешним треугольником Наполеона. » Аналогично строится и внутренний треугольник Наполеона.
Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XY-XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.

Тем удивительнее было открытие, сделанное американским математиком Франком Морли. Он доказал, что если в треугольнике провести через вершины лучи, делящие углы на три равные части, то точки пересечения смежных трисектрис углов  являются вершинами равностороннего треугольника (1899).

Энц. «Я познаю мир. Математика», 2006

Узнайте, существует ли какой-либо конкретный треугольник в трехмерном пространстве из данной точки с произвольным числом других треугольников, потенциально на пути

Я хотел бы написать функцию, которая возвращает «Истина», если треугольник (заданный его вершинами и нормальным) в трехмерном пространстве, видна из заданной точки в трехмерном пространстве (заданная ее х, у и z co’rds), учитывая, что другие треугольники в пространстве могут действовать как «блокирующие», которые останавливают вас видеть указанный треугольник от точки.Узнайте, существует ли какой-либо конкретный треугольник в трехмерном пространстве из данной точки с произвольным числом других треугольников, потенциально на пути

Под «видеть» и «видимые» я имею в виду, что можно подключить любой точки треугольника до точки наблюдения с прямым линии, которая не пересекают никаких блокирующих треугольников.

hopefully this shows what I mean

Я посмотрел на «г буферизации» и другие методах для решения «проблемы видимости», однако, так как я не оказывающий треугольники в пиксели для отображения на экране через определенный вид порт я считаю, они не актуальны.

Мои два подхода наивы;

1) проецировать линию от точки наблюдения через каждую вершину потенциального «блокирующего» треугольника до некоторого очень большого радиуса (для моего приложения никакие треугольники не будут находиться на расстоянии более 1000 единиц от точки наблюдения, скажем так, я бы выберите 1001 единиц). Тогда у меня была бы область за трафиком с краями, описанными проецируемыми линиями, в которых объект не может быть замечен. Я сделаю это для всех блокировщиков, затем найду объединение всех этих областей и проверит, находится ли мой треугольник под одной из (потенциально многих) областей.

или

2) Опять стреляют линии для всех блокирующих вершин треугольника, найти точку, в которой эти линии пересекают плоскость, в которой треугольник испытуемого находится, чтобы получить проецируемый треугольник каждого блокатора в плоскости. Смешайте любые перекрывающиеся проецируемые треугольники в один многоугольник. Затем проверьте, что тестируемый треугольник не полностью находится внутри любого из проецируемых треугольников или объединенных полигонов.

Проблема с методом 1) заключается в том, что его трудно найти, если форма полностью закрыта трехмерным томом и еще сложнее объединить пересекающиеся трехмерные тома в один большой объем 3D.

Проблема с методом 2) бывают случаи, когда проецируемые линии через блокирующие вершины треугольника никогда не попадут в плоскость представляющего интерес треугольника. Нельзя просто игнорировать эти случаи, они все еще могут заглушить интересующий треугольник, они просто проливают бесконечную длинную тень на самолет.

Я опираюсь на метод 2, но, как я уже сказал, эти методы кажутся немного наивными, если кто-то может предложить более элегантное решение, это было бы очень интересно для меня! Описание или псевдокод является идеальным, в конце концов я надеюсь реализовать это в matlab или C++, но на данный момент позволяет держать вещи вообще!

Астрономы наконец объяснили Бермудский треугольник в космосе?

Известно, что корабли, самолеты и люди исчезают без объяснения причин в районе северной части Атлантического океана, известном как Бермудский треугольник.

Может быть, это инопланетяне, какая-то сила, тянущая объекты под водой, или связь с легендарным затерянным городом Атлантида? Или это может быть просто плохая погода, человеческая ошибка или интенсивное движение транспорта в регионе? Никто не знает наверняка, но более 50 кораблей и 20 самолетов исчезли с середины 19 века.На самом деле это не больше, чем в любой другой хорошо проходимой части океана, но все же теории заговора сохраняются.

Если мы посмотрим в небо, мы сможем исследовать похожее явление, получившее название «Бермудский треугольник космоса». Известно, что эта обширная область над Землей наносит ущерб космическим кораблям, которые случайно заходят в эту область. Корабль не исчезает внезапно, но, тем не менее, вызванный им сбой является серьезным и создает проблемы как для оборудования, так и для астронавтов.

Бермудский треугольник в космосе расположен над Южной Атлантикой, простирается от Чили до Зимбабве и находится в точке, где внутренний радиационный пояс Ван Аллена наиболее близко подходит к поверхности Земли.У Земли есть два пояса Ван Аллена, которые представляют собой два кольца заряженных частиц в форме пончика, которые окружают нашу планету и удерживаются на месте магнитным полем Земли. Внутренняя часть состоит в основном из протонов высоких энергий, а внешняя — из электронов. Поскольку ремни улавливают частицы, вылетающие с поверхности Солнца, они в конечном итоге защищают поверхность планеты от вредного излучения.

В месте расположения Бермудского треугольника в космосе или Южно-Атлантической аномалии (ЮАА), как ее официально называют, магнитное поле Земли особенно слабое.Это означает, что частицы солнечных космических лучей не задерживаются в той же степени, что и в других местах над планетой. В результате солнечные лучи приближаются к поверхности Земли на расстояние до 200 километров (124 миль). Более интенсивное солнечное излучение приводит к увеличению потока энергичных частиц в этой области.

«Мне не нравится это прозвище, но в этом регионе более низкая напряженность геомагнитного поля в конечном итоге приводит к большей уязвимости спутников для энергичных частиц, до такой степени, что космический корабль может повредить, когда они пересекают область», — сказал Джон Тардуно, профессор геофизики Рочестерского университета.»Более низкая напряженность магнитного поля позволяет радиационному поясу Земли — технически внутреннему поясу — приближаться к поверхности Земли», — сказал Тардуно All About Space. «Таким образом, спутники, проходящие через этот регион, будут испытывать большее количество излучения до такой степени, что может произойти повреждение. Подумайте об электрическом разряде или дуге. При большем поступлении излучения спутник может стать заряженным, а сопутствующие дуги могут привести к серьезным повреждениям».

Что происходит с космическими кораблями и космонавтами в SAA?

Обычно пояса Ван Аллена простираются на высоте от 1 000 до 60 000 км (620 и 37 000 миль) над поверхностью Земли.Однако небольшая высота очага излучения помещает его на орбиту некоторых спутников, которые бомбардируются протонами, энергия которых превышает 10 миллионов электрон-вольт (эВ), со скоростью 3000 «попаданий» на квадратный сантиметр в секунду.

Это влияет на бортовые электронные системы космического корабля, что затрудняет работу этих объектов и вынуждает космические агентства и других операторов спутников отключать их. То же самое и с телескопом Хаббл, который проходит через SAA 10 раз в день, проводя там около 15% своего времени.Хаббл не может собирать астрономические данные в эти моменты, что не идеально, но необходимо.

Все о космосе

(Изображение предоставлено: Future)

Эту статью предоставил вам Все о космосе .

Журнал All About Space отправит вас в захватывающее путешествие по нашей солнечной системе и за ее пределы, от удивительных технологий и космических кораблей, которые позволяют человечеству выйти на орбиту, до сложностей космической науки.

Несоблюдение мер предосторожности путем выключения космического корабля, вероятно, приведет к отказу системы — что астронавты уже наблюдали с компьютерами на борту корабля, которые летают в непосредственной близости от SAA. Единственное решение — принять защитные меры. «Перевод оборудования в« безопасный режим »означает сокращение операций, которые более уязвимы для радиации», — сказал Тардуно.

Чем сложнее становится электроника, тем больше вероятность возникновения проблем.Любые спутники, которые используют микроволновую систему слежения DORIS, что означает доплеровскую орбитографию и радиопозиционирование, интегрированное со спутником, например, видят результирующий сдвиг частоты бортового генератора.

Связано: Странность «сильного» магнитного поля, обнаруженная над Южной Атлантикой

Ущерб, нанесенный SAA, также может оказаться очень дорогостоящим, о чем свидетельствует тот факт, что из-за этого района на Землю рухнул японский спутник Хитоми. Hitomi, или ASTRO-H, был заказан Японским агентством аэрокосмических исследований (JAXA) для изучения чрезвычайно энергичных процессов во Вселенной.Спустя чуть больше месяца после запуска в феврале 2016 года его операторы потеряли связь, и спутник развалился на несколько частей. Позже эксперты обнаружили, что проблема связана с инерционным эталонным блоком космического корабля (тип датчика движения), который сообщает о вращении со скоростью 21,7 градуса в час, когда корабль фактически стабилен. Когда система управления ориентацией пыталась противодействовать несуществующему вращению, последовательность событий заставила ее сломаться.

Если бы операторы смогли обнаружить ошибку в реальном времени, они могли бы ее исправить.Но это произошло, когда спутник проходил через SAA, поэтому связь была потеряна. Также существует вероятность того, что большая доза радиации повлияла на электронику. В любом случае эта злополучная сага обошлась JAXA примерно в 273 миллиона долларов и три года подготовленных исследований.

Астронавты тоже могут быть затронуты SAA. Некоторые сообщали, что видели странные белые огни, мигающие перед их глазами, и были приняты меры для защиты астронавтов на борту Международной космической станции (МКС).Над наиболее часто используемыми частями МКС, такими как галерея и спальные помещения, установлена ​​прочная защита, чтобы уменьшить количество радиации, которому подвергаются астронавты. Астронавты также носят дозиметры, которые представляют собой устройства, которые измеряют их личное воздействие ионизирующего излучения в режиме реального времени и отправляют предупреждение, если они достигают опасного уровня.

Как возникает Южно-Атлантическая аномалия (ЮАА). (Изображение предоставлено Гетти)

Что вызывает SAA?

Но почему над Южной Атлантикой магнитное поле менее сильное? Это из-за формы Земли, которая не полностью круглая.Земля слегка выпирает посередине, а поле магнитного диполя планеты смещено от ее центра примерно на 500 км (300 миль). В местах падения заряженные частицы и космические лучи находятся ближе к поверхности Земли и обеспечивают меньшую изоляцию от межпланетного пространства. Даже в этом случае этот магнитный пузырь все еще не позволяет солнечному ветру достигать поверхности.

Магнитное поле поддерживается динамо-процессом, который возникает в результате протекания жидкого металла во внешнем ядре Земли, генерирующего электрические токи.Когда планета вращается вокруг своей оси, турбулентное движение расплавленного заряженного материала формирует магнитное поле и придает планете северный и южный полюса на поверхности. Однако полюса не являются постоянными, поскольку магнитное поле Земли постоянно смещается; становится все сильнее и слабее по мере движения. На данный момент магнитное поле в области SAA ослабевает, а значит, область растет.

Тардуно и его коллеги изучают, как долго SAA действует.В 2018 году они обнаружили в Африке уникальный источник геологических данных, который помог пролить свет на то, как выглядело магнитное поле Земли тысячи лет назад. Фермеры банту, жившие в долине реки Лимпопо в Африке 1000 лет назад, проводили очищающий ритуал, который включал сжигание своих деревень во время засухи, чтобы начать все заново и поощрить дождь. Ожог привел к высвобождению магнитных минералов в глине, которые должны были выровняться с магнитным полем Земли до охлаждения, что оставило Тардуно и его коллеги потрясающий снимок того, как магнитное поле выглядело в то время.

«Мы обнаружили что-то необычное на границе ядро-мантия под Африкой», — сказал Тардуно, что может влиять на глобальное магнитное поле. Команда нашла доказательства того, что SAA является наиболее актуальным проявлением повторяющегося явления.

«Под Африкой, на границе ядро-мантия, чуть выше ядра жидкого железа, поле перевернуто. Это то, что мы называем пятном обратного потока», — сказал Тардуно. «Именно этот патч, кажется, вызывает большую часть слабого поля и SAA.«Ученые также изучали, будет ли это означать, что магнитное поле вот-вот изменится, но исследования, основанные на наблюдениях за последние 50 000 лет, показывают, что SAA не является признаком этого. пояс (красный) и внешний пояс, который состоит из электронов (синий). (Изображение предоставлено НАСА)

Что расширение SAA означает для землян и космических путешествий

Дальнейшие исследования также показали, насколько опасно излучение в SAA может быть на разных уровнях.Это важно, потому что растущая область SAA не только увеличит проблемы с компьютерами и другим электронным оборудованием на Земле, но также может привести к большей распространенности рака.

Риккардо Кампана из Национального института астрофизики в Болонье, Италия, проанализировал данные об излучении итальянско-голландского спутника рентгеновской астрономии BeppoSAX, который часто проходил через нижний край SAA в период с 1996 по 2003 год. Он обнаружил, что излучение уровни были ниже в нижней части SAA, чем в верхних слоях.

Тем не менее, как указывает Европейское космическое агентство, магнитное поле в этой области за последние 150 лет потеряло около 15% своей силы. До 1994 года северный магнитный полюс перемещался со скоростью 10 км (6,2 мили) в год, но с 2001 года эта скорость увеличилась примерно до 65 км (40 миль) в год. Может ли магнитное поле когда-либо полностью исчезнуть, оставив Землю открытой для радиация?

Связано: Объяснение космической радиационной угрозы для астронавтов (инфографика)

«Это не будет проблемой до многих миллиардов лет в будущем», — сказал Тардуно.«Даже во время инверсий намагничивания существует магнитное поле, хотя и намного более слабое и более сложное по форме, чем настоящее.

» Сейчас спор заключается в том, находимся ли мы на ранних стадиях перемагничивания. Быстрое снижение напряженности дипольного магнитного поля за последние 160 лет и характер распада дают некоторую поддержку для рассмотрения этого как возможности, но короткий промежуток времени наблюдаемого распада по-прежнему ставит это в область предположений «.

На данный момент основное внимание уделяется исследованию космоса, особенно с учетом того, что количество спутников и космических кораблей с людьми будет увеличиваться.Знание того, как ведет себя SAA, имеет решающее значение, потому что, поскольку он растет со скоростью 19,3 км (12 миль) в год, он скоро в конечном итоге покроет гораздо больший географический регион, чем сегодня.

Дополнительные ресурсы:

Эта статья была адаптирована из предыдущей версии, опубликованной в журнале All About Space, издании Future Ltd.

Что это такое в Бермудском треугольнике космоса

Космическая станция | Астронавт

Каково это в космическом Бермудском треугольнике

(Изображение предоставлено Getty Images)

Астронавты пролетают через аномалию с таким высоким уровнем радиации, что компьютеры перестают работать.

«До того, как я стал астронавтом, я видел истории об астронавтах, которые видели белые вспышки излучения во время полета в космосе», — говорит Терри Виртс, бывший астронавт НАСА. На пятую ночь своего первого полета — миссии 2010 года с космическим шаттлом Endeavour — он как раз лег спать. «Я … закрыл глаза и бум! Эта гигантская ослепляющая белая вспышка сверкнула в моих глазах — и я ничего не слышал ».

По мере того, как все больше предпринимателей балуются космическими полетами — например, генеральный директор SpaceX Илон Маск, который только что запустил свою новую ракету Heavy во Флориде, — они обнаруживают, что им приходится бороться с такими странными явлениями.

Один из самых странных — тот, свидетелем которого стал Виртс. Это Южно-Атлантическая аномалия (SAA), которая сочетает в себе массивную вспышку света без звука. Но SAA — это не просто странное зрелище. Он наносит ущерб компьютерам, находящимся поблизости, и подвергает находящихся поблизости людей воздействию более высоких уровней радиации — за что он получил прозвище «Бермудский треугольник космоса».

По мере того как пилотируемые космические полеты становятся все более распространенными, а астронавты все больше полагаются на компьютеры, проблемы, которые ставит SAA, могут стать только более острыми.

Спутники — и даже МКС — должны проводить как можно меньше времени в этой разрушительной зоне (Источник: Getty Images)

Чтобы понять SAA, вы должны сначала понять радиационные пояса Ван Аллена. Это две области заряженных частиц в форме пончика, которые окружают Землю и удерживаются на месте ее магнитным полем. «Солнце испускает огромное количество излучения, — говорит Виртс, — и в основном это частицы, такие как электроны, оторванные от поверхности Солнца … Весь этот материал выбрасывается в космос, и магнитное поле Солнца может его искривлять.Когда он попадает на Землю, он попадает в ловушку нашего магнитного поля и образует радиационные пояса в космосе ».

Хорошая новость заключается в том, что пояса Ван Аллена защищают Землю от этих сильно заряженных электронных частиц, выбрасываемых Солнцем. Плохая новость в том, что здесь есть загвоздка.

Земля не совсем круглая; он слегка выпячивается посередине. Магнитные полюса Земли также не полностью совпадают с ее географическими полюсами, поэтому она наклонена, в результате чего пояса Ван Аллена также наклоняются.SAA — это место, где внутренний радиационный пояс Ван Аллена находится на самой низкой высоте и, следовательно, в самой близкой к Земле точке. Из-за наклона магнитное поле сильнее всего на севере, оставляя область над Южной Атлантикой и Бразилией прямо на пути пояса Ван Аллена.

Это не опасно для Земли. Но это наносит ущерб любым спутникам и другим космическим кораблям, таким как Международная космическая станция (МКС), которые проходят через этот район, а также людям на борту — что Виртс слишком хорошо знает как из своего полета в 2010 году, так и из своего времени на борту МКС. в 2014.

Помимо белых вспышек, которые, по сообщениям астронавтов, видят, их компьютеры страдают. «У нас есть акроним для всего в НАСА, — говорит Виртс. «И это SEU — расстройства одного события. Это просто означает, что ваш компьютер икает, и это случается довольно часто.

Полярное сияние может выглядеть потрясающе с Земли, но еще более впечатляющим из космоса, — говорит Терри Виртс (Источник: Getty Images).

«Это хорошо известная область, где находятся все типы спутников, а не только космическая станция с людьми. , а вот нормальные спутники связи и прочее — проблемы », — добавляет он.«Вы хотите как можно быстрее добраться туда по пути на Луну или куда бы вы ни направлялись».

В настоящее время космический телескоп Хаббл, например, не может проводить астрономические наблюдения во время полета через регион.

Так как же космические корабли и их пассажиры защитить себя от этого удара радиации? «Вода — лучший щит», — говорит Виртс. На МКС космонавты используют «водную стену». «Это всего лишь куча этих 23-килограммовых больших мешков с водой», — говорит он, хотя они не обертываются вокруг спальных помещений космонавтов.

Радиация находится под пристальным наблюдением во время космических полетов. «Есть несколько электронных детекторов излучения, которые просто подсчитывают попадания радиации и отправляют данные обратно на Землю», — говорит Виртс. «Каждый из нас носит с собой радиационный монитор все время, пока мы находимся в космосе… Я держал его в кармане на протяжении всей моей миссии, в обеих моих миссиях. Даже когда я выходил в открытый космос, я брал его с собой в своем космическом костюме ».

Эта борьба между магнитным полем Земли и солнечным ветром также имеет еще один удивительный эффект: полярное сияние, или северное и южное сияние.Это происходит, когда сильно заряженные частицы Солнца попадают в атмосферу Земли, вызывая светящийся зеленый свет.

На Земле люди путешествуют за тысячи миль, чтобы увидеть Аврору. Но пока он был на МКС, у Виртса был лучший вид из всех. «Из космоса северное сияние очень отличается от южного, — объясняет он. «Северное сияние с точки зрения космической станции всегда было этой тонкой полосой вдалеке, а южное сияние всегда было гораздо большим облаком, гораздо ближе к космической станции.

Из 215 дней пребывания в космосе это зрелище осталось у него. «Вы плывете и летите через гигантское танцующее облако зеленого и красного цветов», — говорит он. «Нет ничего подобного на Земле».

По мере того, как будет запущено все больше космических аппаратов, они должны будут быть более устойчивыми к эффекту треугольника (Источник: Getty Images)

Независимо от того, насколько красивым будет вид, по мере того как космические полеты становятся все более распространенными, а миссии — более отдаленными, космические корабли должны повышать свою устойчивость. к SAA и его радиационному воздействию.

«По мере того, как мы углубляемся в Солнечную систему и дальше от Земли, у нас не будет средств управления полетами, которые могли бы помочь нам мгновенно», — говорит Виртс. «Из-за скорости света нам, возможно, придется подождать несколько минут, чтобы получить ответ. Итак, компьютеры должны быть лучше с искусственным интеллектом и так далее.

«И чем более мощный компьютер вы получите, тем больше он будет подвержен радиационным проблемам.

«Это будет действительно важно для будущих исследований космоса».

Эта история из Бермудского треугольника космоса, эпизода открытия, продюсера Мишель Мартин.Чтобы послушать другие серии Discovery от BBC World Service, щелкните здесь.

Присоединяйтесь к 800 000+ будущих поклонников, поставив нам лайк на Facebook или подписавшись на нас на Twitter .

Если вам понравился этот рассказ, подпишитесь на еженедельную рассылку новостей bbc.com под названием «Если вы прочитаете только 6 статей на этой неделе». Тщательно подобранная подборка историй из BBC Future, Earth, Culture, Capital и Travel, которые доставляются на ваш почтовый ящик каждую пятницу.

Бермудский треугольник космоса — сейчас. Powered by Northrop Grumman

Его прозвали Бермудским треугольником космоса. Проходящие космические аппараты подвержены неисправностям электроники, что привело к поломке по крайней мере одного космического аппарата в полете. Ноутбуки космонавтов отключены, и сами астронавты сообщают, что видят мигающие огни, которые не могут обнаружить никакие приборы.

Эта область околоземного космического пространства называется Южно-Атлантической аномалией. Что касается космических расстояний, это довольно близкий сосед Бермудского треугольника, расположенный в районе над Атлантическим океаном между Африкой и Южной Америкой, опускающийся на 200 миль от Земли.

Необычный уголок космоса

В то время как распространена популярная легенда о кораблях и самолетах, пересекающих Бермудский треугольник, на которые влияют странные показания приборов, иногда со смертельным исходом, ни одно расследование никогда не подтверждало такие эффекты.

В отличие от этого, по словам Дэвида Крукса из Space.com, аномалия — это хорошо известное искажение магнитного поля Земли, нанесенное на карту как исследователями Земли, так и космическими кораблями. Мы даже в общих чертах знаем, что его вызывает.

То, чего мы не знаем, — это важные детали, которые помогут нам понять, как развивалась Аномалия, почему она в настоящее время претерпевает изменения и каковы могут быть последствия этих изменений — не только для будущих исследований космоса, но и для будущего человеческой жизни и цивилизация здесь, на Земле.

Когда магнетизм идет наперекосяк

Краткое объяснение Южно-Атлантической аномалии состоит в том, что это искажение магнитного поля Земли. Основной принцип этого магнитного поля аналогичен принципу стержневого магнита.Но магнитное поле Земли создается очень медленным, но чрезвычайно мощным взбалтыванием жидкого железного ядра Земли.

Этот процесс не является полностью симметричным. Магнитные полюса Земли не совпадают в точности с географическими Северным и Южным полюсами. Центральная линия магнитного поля также смещена примерно на 400 миль от фактического центра Земли.

Но то, что происходит глубоко внутри Земли, не всегда остается глубоко внутри Земли. Энергичные заряженные частицы Солнца попадают в магнитное поле Земли, образуя радиационные пояса Ван Аллена.А из-за смещения магнитного поля пояса Ван Аллена опускаются ближе всего к поверхности Земли над Атлантическим океаном между Африкой и Южной Америкой. Этот низкий выступ поясов Ван Аллена является Южно-Атлантической аномалией.

Аномалия и ремни Ван Аллена

Аномалия представляет собой проблему для освоения космоса, потому что большинство спутников вращаются на орбите всего в нескольких сотнях миль над Землей, а это самый простой для нас регион космоса. По большей части эти спутники надежно находятся ниже поясов Ван Аллена, которые Космический центр Хьюстона описывает как «два бублика бурлящей радиации».Но всякий раз, когда орбита спутника пересекает Аномалию, он проходит через низко висящие участки поясов Ван Аллена, подвергая его воздействию интенсивного излучения.

Это излучение является причиной электронных странностей и отказов, поразивших космический корабль, проходящий через Аномалию. Одна из таких неисправностей на борту японского космического корабля Hitomi вызвала неконтролируемое вращение, которое в конечном итоге разорвало корабль на части. Эффекты излучения также вызывают световые вспышки, о которых сообщают астронавты.

Тяжелая радиационная броня должна была быть включена в конструкцию Международной космической станции для защиты экипажа при прохождении через Аномалию. В будущем освоение космоса только увеличит количество космических кораблей и людей, проходящих через Аномалию, что потребует особой защиты.

Но есть также последствия для людей здесь, на Земле. Аномалия постепенно ослабевает и меняет форму, сообщает Стефани Паппас на Space.com.

Между тем, ScienceAlert отмечает признаки того, что он, вполне возможно, разбивается на две отдельные аномалии.Это может быть связано с феноменом периодического изменения направления магнитного поля Земли.

Это важно, потому что те же самые пояса Ван Аллена, которые опасны для космических кораблей, также помогают защитить саму Землю от опасного излучения. Если магнитное поле Земли начнет исчезать и разворачиваться, мы еще не знаем, какое влияние это может оказать на жизнь и здоровье человека или на множество привязанных к Земле электронных устройств, на которые мы полагаемся.

Все это делает дальнейшее изучение Южно-Атлантической аномалии очень важным делом.

Интересуетесь всем, что связано с космосом и исследованиями? Мы тоже. Взгляните на открытых вакансий в Northrop Grumman и подумайте о присоединении к нашей команде.

Загадка

МКС: «Бермудский треугольник космоса» стал причиной аварии компьютеров астронавтов | Наука | Новости

Космос: Робин Хэнсон раскрывает то, что «должно вас напугать»

Магнитное поле Земли имеет слабое место «размером с континентальный США», парящее над Южной Америкой и южной частью Атлантического океана.Ученые говорят, что мы в безопасности от воздействия на Землю, но спутникам не так повезло — когда они проходят через аномалию, их бомбардируют радиацией, «более интенсивной, чем где-либо еще на орбите». Этот регион, известный как Южно-Атлантическая аномалия (SAA) или «Бермудский треугольник космоса», в просторечии находится в точке, где магнитное поле Земли особенно слабое.

Это означает, что частицы солнечных космических лучей не удерживаются в той же степени, что и в других местах над планетой.

В результате солнечные лучи приближаются к поверхности Земли на расстояние до 124 миль — в диапазоне зондов на низкой околоземной орбите (НОО).

Джон Тардуно, профессор геофизики в Университете Рочестера, объяснил: «Я не люблю это прозвище, но в этом регионе более низкая напряженность геомагнитного поля в конечном итоге приводит к большей уязвимости спутников для энергичных частиц, для указывают на то, что космические корабли могут быть повреждены, когда они пересекают эту зону.

«Таким образом, спутники, проходящие через этот регион, будут испытывать большее количество излучения до такой степени, что может возникнуть повреждение.

МКС подверглась воздействию радиации (Изображение: GETTY)

Земля защищена магнитным полем (Изображение: GETTY)

«Подумайте об электрическом разряде или дуге.

«При большем количестве поступающего излучения спутник может зарядиться, а сопутствующие дуги могут привести к серьезным повреждениям».

Обычно магнитное поле Земли защищает на высоте от 620 до 37000 миль над поверхностью планеты.

Но малая высота очага излучения помещает его на орбиту некоторых спутников, которые бомбардируются протонами, энергия которых превышает 10 миллионов электрон-вольт.

В первые дни существования МКС аномалия вызвала бы сбой компьютеров астронавтов, вынудив космические агентства отключить свои бортовые системы.

Астронавты тоже пострадали от САА.

ПРОЧИТАЙТЕ БОЛЬШЕ: Brexit Британия «приоритетна» в проекте Virgin с сотнями рабочих мест в «огромных возможностях»

Часть магнитного поля Земли слабая (Изображение: GETTY)

Некоторые сообщали, что видели странные белые огни, мигающие перед их глазами , и с тех пор были приняты меры по защите космонавтов.

Надежные экраны установлены над наиболее часто используемыми частями МКС, такими как галерея и спальные помещения, чтобы уменьшить количество радиации, которому подвергаются астронавты.

Астронавты также носят дозиметры, которые представляют собой устройства, которые измеряют их личное воздействие ионизирующего излучения в режиме реального времени и отправляют предупреждение, если они достигают опасного уровня.

Телескоп Хаббл, который проходит через SAA 10 раз в день и проводит там примерно 15 процентов своего времени, не может собирать астрономические данные в эти моменты.

Несоблюдение этих мер может привести к сбою системы.

НЕ ПРОПУСТИТЕ
Предложение Стивена Хокинга «черная дыра времени» для НАСА [ОБНАРУЖЕНО]
Прорыв в Стоунхендже: письмо Юлия Цезаря раскрывает «секрет» [ВИДЕО]
Открытие Антарктиды: вековое письмо показывает находку шока [ФОТОГРАФИИ]

Астронавты МКС почувствовали последствия в первые дни (Изображение: GETTY)

Доктор Тардуно добавил: «Перевод оборудования в« безопасный режим »означает сокращение операций, которые более уязвимы для излучения.«

Ущерб, нанесенный SAA, также может оказаться очень дорогостоящим, о чем свидетельствует случай, когда из-за этого района японский спутник Hitomi упал на Землю.

Hitomi, или ASTRO-H, было заказано Японским агентством аэрокосмических исследований (JAXA) для изучают чрезвычайно энергичные процессы во Вселенной.

Спустя чуть более месяца после запуска в феврале 2016 года его операторы потеряли связь, и спутник развалился на несколько частей.

Позже эксперты обнаружили, что проблема связана с инерциальным эталонным устройством космического корабля, сообщающим о вращение 21.7 градусов в час, когда аппарат был устойчивым.

Когда система управления ориентацией пыталась противодействовать несуществующему вращению, последовательность событий вызвала ее поломку.

Хаббл должен отключиться во время прохождения через аномалию (Изображение: GETTY)

Если бы операторы смогли обнаружить ошибку в реальном времени, они могли бы исправить ее, но это произошло во время прохождения спутника через SAA , поэтому связь была потеряна.

Эта злополучная сага обошлась JAXA примерно в 273 миллиона долларов (210 миллионов фунтов стерлингов) и три года подготовленных исследований.

И это может создать больше проблем в будущем.

Недавний прогноз, сделанный ученым НАСА доктором Вейджиа Куанг и профессором Эндрю Тангборном из Университета Мэриленда, округ Балтимор, показывает, что аномалия не только мигрирует на запад, но и увеличивается в размерах.

Через пять лет одна область может вырасти на 10 процентов по сравнению со значениями 2019 года.

Вмятина также может расколоться, сказал доктор Куанг, или, возможно, другое слабое место появилось независимо и вгрызлось в нее.

Жюльен Обер, исследователь Парижского института физики Земли, заявил, что необходимы дополнительные исследования.

В январе она сказала: «Как и прогнозы погоды, вы не можете предсказать эволюцию ядра за пределами нескольких десятилетий».

Бермудский треугольник в космической тайне разгадана

Swarm состоит из трех идентичных спутников на низкой околоземной орбите. Альфа и Чарли вместе летят на высоте около 450 км, медленно снижаясь с течением времени, в то время как Браво сидит немного выше и медленно уносится от орбитальной плоскости остальных. Когда они проходят через экватор между Южной Америкой и Африкой, их орбита подвергается таинственному затемнению при навигации — и это происходит только ночью.

Это именно то, что испытал эксперимент Swarm с момента его запуска в 2013 году.

Swarm — это миссия Европейского космического агентства (ESA), в которой три идентичных космических корабля летают строем вокруг земного шара, нанося на карту магнитное поле Земли с беспрецедентным точность и разрешающая способность ».

Эта точность требует постоянного фиксирования местоположения со спутников GPS — именно так были замечены загадочные затемнения. Данные, загружаемые в штаб миссии в Потсдаме, Германия, не содержали информации о местоположении в определенное время и в определенном месте.

В течение многих лет эти отключения электроэнергии сбивали с толку экспертов. Теперь виновником оказывается гроза в космосе, точнее в ионосфере, на высоте от 300 до 600 км над Землей (официальная граница между атмосферой и космосом составляет 100 км).

«Эти ионосферные грозы хорошо известны, но только сейчас мы смогли показать прямую связь с потерей сигнала GPS», — сказала ученый проекта Swarm профессор Клаудиа Штолле из GeoForschungsZentrum Potsdam в Германии.

Что такое ионосферные грозы?

****: Ионосфера является частью верхних слоев атмосферы Земли на расстоянии от 80 до 600 км. Он отражает и изменяет радиоволны, которые мы используем для связи и GPS-навигации.

****: Атомы и молекулы «ионизируются» экстремальным ультрафиолетом (EUV) и рентгеновским солнечным излучением, которое создает слой электронов.

****: На эту «зарядку» также могут повлиять солнечные вспышки, изменения солнечного ветра и геомагнитные бури.

****: Однако наибольшая ионизация вызвана солнечным излучением, ночная сторона Земли совпадает со временем, когда в проекте Swarm происходят отключения электроэнергии.

«Штормы обычно происходят в течение одного или двух часов между закатом и полуночью и вызывают потерю сигнала GPS со спутников на несколько минут».

Причину отключений можно отследить, потому что спутники Swarm имеют на борту как магнитные, так и GPS-детекторы — и это открытие может случайно проложить путь к лучшему прогнозированию космической погоды и лучшему GPS здесь, на поверхности.

Ученые сообщают, что связь между отключениями GPS и ионосферными грозами предоставила новый способ исследовать систематические нарушения в ионосфере и связать их с изменениями в солнечной магнитной активности.

Южноатлантическая аномалия: откройте для себя космос Бермудский треугольник

На околоземной орбите есть область, где наше магнитное поле слабее, и в результате спутники и космические корабли более уязвимы для солнечных бурь и космического излучения.Район, известный как Южноатлантическая аномалия, получил прозвище «Космический Бермудский треугольник» в связи с регионом Северной Атлантики, где с середины XIX века исчезли более 50 кораблей и 20 самолетов.

«Мне не нравится это прозвище, но в этом регионе более низкая интенсивность геомагнитного поля приводит к большей уязвимости спутников для энергичных частиц, вплоть до повреждения космических аппаратов, когда они пересекают регион», — объясняет профессор геофизики Рочестерского университета Джон Тардуно в интервью журналу All About Space .

реклама

Более низкая напряженность магнитного поля в регионе, простирающемся от Чили до Зимбабве, позволяет радиационному поясу Земли, поясу Ван Аллена, приближаться к поверхности. Обычно пояса простираются на высоте от 1 км до 60 км, но в этой области солнечные лучи достигают высоты 200 км, а более интенсивное солнечное излучение приводит к увеличению потока энергичных частиц.

«Таким образом, спутники, которые проходят через этот регион, подвергаются большему излучению до точки повреждения.Это похоже на внезапный электрический разряд. При получении большего количества радиации спутник может быть перегружен и получить серьезные повреждения », — говорит Тардуно. В Южно-Атлантической аномалии объекты на орбите бомбардируются протонами, энергия которых превышает 10 миллионов электрон-вольт, со скоростью 3 «удара» на квадратный сантиметр в секунду.

Белыми точками на карте отмечены отдельные события, когда приборы регистрировали радиационное воздействие с апреля 2014 года по август 2019 года.Видео: ЕКА / Отдел геомагнетизма / DTU Space

Эта «атака» затрагивает электронные системы на борту космического корабля, что затрудняет управление этими объектами и вынуждает космические агентства и других операторов спутников отключать их или переводить в «безопасный режим». Даже телескоп Хаббл является частой жертвой: он проходит через регион десять раз в день и не может собирать астрономические данные в это время (что составляет 15% времени его активности).

Аномалия, похоже, затронула и космонавтов.Международная космическая станция особенно укреплена в наиболее посещаемых местах, таких как галереи и общежития. Некоторые из пассажиров уже сообщали, что видели странные белые огни, мигающие перед их глазами, когда проезжали через этот район. С тех пор астронавты используют устройства, которые измеряют их личное воздействие ионизирующего излучения в режиме реального времени и отправляют предупреждение, если они достигают опасного уровня.

Но что вызывает Южно-Атлантическую аномалию? Форма Земли — один из факторов.Планета не идеально круглая (но она далеко не плоская и не вогнутая), а слегка приплюснутая на полюсах и шире на экваторе. Кроме того, поле магнитного диполя смещено от центра примерно на 500 км. Именно в этом различии космические лучи успевают приблизиться к поверхности и изолированность межпланетного пространства меньше.

Земли радиационные пояса с обозначением Южно-Атлантической аномалии («Южно-Атлантическая аномалия» или SAA). Изображение: ESA

Кроме того, движение жидкого металла, который течет в ядре Земли (и который генерирует магнитное поле), делает полюса непостоянными.В настоящий момент, например, в области аномалии магнитное поле ослабевает, в результате чего она разрастается и, согласно некоторым исследованиям, разделяется на два ядра.

Это увеличение вызывает беспокойство, поскольку оно не только приведет к учащению проблем с электронным оборудованием, но также может привести к более высокому распространению рака. По данным Европейского космического агентства (ЕКА), магнитное поле в регионе потеряло около 15% своей напряженности за последние 150 лет. До 1994 года северный магнитный полюс перемещался со скоростью 10 км в год, но с 2001 года он увеличился примерно до 65 км в год.

На этой анимации показано уменьшение напряженности магнитного поля на поверхности Земли с 2014 по 2020 год на основе данных, собранных группировкой спутников Swarm. Видео: ЕКА / Отдел геомагнетизма / DTU Space

Исследователи также обеспокоены возможной геомагнитной инверсией. В этом явлении северный и южный полюсы меняют положение (то есть магнитный север будет близок к географическому югу, и наоборот), хотя среди ученых нет единого мнения, проходим мы этот процесс или нет.Около 183 инверсий произошло за последние 83 миллиона лет, последний из которых — 780 лет назад.

«Исчезновение магнитного поля Земли не будет проблемой до многих миллиардов лет в будущем», — говорит Тардуно. «Даже во время перемагничивания существует магнитное поле, хотя и намного более слабое и более сложное, чем настоящее. Быстрое снижение силы дипольного магнитного поля за последние 160 лет и характер распада дают определенную поддержку для рассмотрения этого как возможности, но через короткий период времени это все еще является предположением », — добавляет профессор.

Улица: Space.com

Рассветный треугольник планет | Управление научной миссии

Приближается зима. Ранние пробуждающие солнечные лучи лета уходят в прошлое, когда октябрьское утро становится темным и холодным. Честно говоря, проснуться не так просто, как раньше …

Кроме этой недели.

В грядущие дни, если вы обнаружите, что зеваете за утренним кофе перед восходом солнца, желая отдохнуть, просто взгляните в окно.Три яркие планеты сходятся в восточном небе — и вид открывает глаза.

Каждое утро в конце октября Венера, Юпитер и Марс будут восходить на востоке примерно за час до Солнца. Вместе они образуют треугольник в предрассветном небе. Венера и Юпитер — самые яркие вершины, они видны даже после того, как черное предрассветное небо станет кобальтово-синим. Как только вы их найдете, вам не составит труда найти более тусклую Красную планету, которая завершает треугольник, пока небо все еще остается черным.

Хотя любое утро в конце октября — хорошее время, чтобы посмотреть, лучше всего будет шестидневный отрезок с 24 по 29 октября. Это потому, что за это время треугольник планет сожмется, пока не станет меньше пяти градусов в ширину. Для справки: чаша Большой Медведицы имеет ширину около 10 градусов, поэтому два из этих треугольников удобно поместятся внутри чаши.

Однако большее значение имеет то, что вы можете увидеть в бинокль. В обычный бинокль можно увидеть участок неба шириной около шести или семи градусов.Поэтому, когда треугольник планет сжимается до пяти градусов, все они умещаются в поле зрения бинокля. Представьте, что вы смотрите в окуляр и видите сразу три планеты. Это редкое и красивое зрелище ждет, чтобы разбудить вас с 24 октября.

Помимо планет, есть луны… Луны Юпитера: Ио, Европа, Ганимед и Каллисто. 3 или 4 из этих гигантских спутников обычно будут видны, если бинокль удерживать неподвижно, опираясь на что-нибудь прочное или устанавливая их на штатив.Конфигурация лун будет изменяться каждое утро.

К концу октября планетарный треугольник начнет распадаться. Но есть еще две даты, представляющие особый интерес: 6 ноября, -е, -е и 7-е. В эти все более зимние дни полумесяц будет скользить по рассеивающимся планетам, создавая непрочное соединение, которое гарантированно разрушит «сон в ваших глазах». На 6 он будет близко к Юпитеру. К 7 -му он уже прошел Марс и Венеру.

Просыпаться перед восходом солнца может быть не так уж и плохо ….

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *