Углы в египетском треугольнике в градусах: Египетский треугольник Пифагора: свойства, углы, стороны

Разное

Содержание

Египетский треугольник Пифагора: свойства, углы, стороны

В математике есть определенные каноны, которые явились, так сказать, фундаментом или основанием всего последующего развития современной математики. Одним из этих канонов, по праву можно считать теорему Пифагора.

Кому еще со школьных времен не известна смешная формулировка теоремы Пифагора: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Ну да, правильно это звучит так: «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов «, но про штаны гораздо лучше запоминается.

Нагляднее всего это видно на треугольнике со сторонами 3-4-5. Но если изучить внимательно использование такого треугольника в древней истории, то можно заметить одну занимательную вещь и называется она ни как по другому, как Египетский треугольник.

Этот самый философ и математик Пифагор Самосский из Греции, именем которого и названа эта теорема, жил примерно 2,5 тысяч лет тому назад. Ну конечно дошедшая до нашего времени биография Пифагора не совсем достоверна, но, тем не менее, известно что Пифагор много путешествовал по странам Востока. В том числе он был и Египте и Вавилоне. В Южной Италии Пифагор основал свою знаменитую «Пифагорову школу», которая сыграла очень даже важную роль, как в научной, так и политической жизни древней Греции. С тех времен по преданиям Плутарха, Прокла и других известных математиков того времени, считалось, что эта теорема до Пифагора известна не была и именно по этому её назвали его именем.

Но история говорит что это не так. Обратимся туда, где бывал Пифагор и что видел, прежде чем сформулировать свою теорему. Африка, Египет. Бесконечный и однообразный океан песка, почти ни какой растительности. Редкие кустики растений, едва заметные верблюжьи следы. Раскаленная пустыня. Солнце и то кажется тусклым, как будто покрытым этим вездесущим мелким песком.

И вдруг, как мираж, как видение, на горизонте возникают строгие очертания пирамид, изумительных по своим идеальным геометрическим формам, устремленным к палящему солнцу. Своими огромными размерами, и совершенством своих форм они изумляют.

Скорее всего, Пифагор их видел в ином виде, нежели как они выглядят сейчас. Это были сияющие полированные громады с четкими гранями на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с величественными царскими пирамидами стояли пирамиды поменьше: жен и родичей фараонов.

Власть фараонов Древнего Египта была непререкаемой. Фараонов считали божеством и отдавали им божественные почести. Фараон-бог был вершителем судьбы народа и его покровителем. Даже после смерти культ фараона имел преогромное значение. Умершего фараона сохраняли веками, и для сохранения тела фараона сооружали гигантские пирамиды. Величие, архитектура и размеры этих пирамид поражают и сейчас. Недаром эти сооружения относили к одному из семи чудес света.

Изначально назначение пирамид было не только как усыпальниц фараонов. Считают что они сооружались как атрибуты могущества, величия, и богатства Египта. Это памятники культуры того времени, хранилища истории страны и сведений о жизни фараона и его народа, собрание предметов быта того времени. Кроме того однозначно, что пирамиды имели определенное «научное содержание». Их ориентирование на местности, их форма, размеры и каждая деталь, каждый элемент настолько тщательно продумывались, что должны были продемонстрировать высокий уровень знаний создателей пирамид. Очевидно что они строились на тысячелетия, «навечно». И недаром арабская пословица гласит: «Все на свете страшится времени, а время страшится пирамид».

Своим аналитическим умом Пифагор не мог не заметить определенную закономерность в формах и геометрических размерах пирамид. Скорее всего, это и натолкнуло Пифагора на анализ этих размеров, что впоследствии и было им выражено своей знаменитой теоремой, от которой ныне и отталкивается современная геометия.

Среди множества пирамид сохранившихся до нашего времени особое место занимает пирамида Хеопса. Если рассмотреть геометрическую модель этой пирамиды и восстановить её первоначальную форму, то очевидно, что её поперечное сечение представляет собой два треугольника с внутренним углом равным 51°50′.

                

Сейчас пирамида является усеченной, но это разрушения времени, а если геометрически восстановить её в первоначальном виде, то получается что стороны этих треугольников равны: основание СВ = 116, 58 м, высота АС = 148,28 м.

                      

Отношение катетов у/х = 148,28/116,58 = 1,272. А это величина тангеса угла 51град 50 мин. Получается, что в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC/CB = 1,272. Такой прямоугольный треугольник называется «золотым» прямоугольным треугольником.

Получается что основной «геометрической идеей» пирамиды Хеопса является «золотой» прямоугольный треугольник. Но особой в этом отношении является пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней у этой пирамиды равен 53°12, при котором отношение катетов прямоугольного треугольника 4:3. Такой треугольник называют «священным» или «египетским» треугольником. По мнению многих известных историков, «египетскому» треугольнику в древности придавали особый магический смысл. Так Плутарх писал, что египтяне сопоставляли природу Вселенной со «священным» треугольником: символически они уподобляли вертикальный катет мужу, основание — жене, а гипотенузу — тому, что рождается от обоих.

Для египетского треугольника со сторонами 3:4:5 справедливо равенство: 32 + 42 = 52, а это и есть знаменитая теорема Пифагора. По неволе напрашивается вопрос: не это ли соотношение хотели увековечить египетские жрецы, построив пирамиду в основе которой лежит треугольник 3:4:5. Пирамида Хефрена наглядное подтверждение того что знаменитая теорема была известна египтянам задолго до ее открытия Пифагором.

Неизвестно как это попало к древним египтянам, то ли это заслуга их ученых, то ли это дар из вне, не исключается и то, что это дар внеземной цивилизации, но использование такого треугольника давало египетским строителям очень существенную и к тому же простую возможность при возведении таких огромных сооружений соблюдать точные геометрические размеры. Ведь свойства этого треугольника таковы, что его угол между катетами является равный 90 градусов. То есть использование такого элемента позволяет обеспечить точную перпендикулярность сопрягаемых элементов и естественно всей конструкции, что и подтверждает архитектура древнего Египта.

Получить прямой угол без необходимых инструментов не просто. Но если воспользоваться этим треугольником, оказывается все достаточно просто. Нужно взять обычную веревку, разделить её на 12 равных частей, и из них сложить треугольник, стороны которого будут равны 3, 4 и 5 частям. Угол между сторонами длиной 3 и 4 части оказывается и есть прямой. Вот это и есть Египетский треугольник Пифагора.

 

Во многих исторических письменах имеются следы, что уникальные свойства «египетского треугольника» были известны и широко использовались за много веков до Пифагора и не только в Египте, но и далеко за его пределами: в Месопотамии, в древнем Китае, в Вавилоне.

Знаменитая древнеегипетская пословица «Делай, как делается», дошедшая до наших дней, наталкивает на мысль что сами египтяне, возводившие эти строительные шедевры, были простыми исполнителями и особыми знаниями не обладали, а все секреты были скрыты от непосвященных. Ведь работами на строительстве руководили жрецы — члены особой привилегированной замкнутой касты. Они были хранителями древних знаний, которые держались в секрете. Но пытливый ум великого мыслителя Пифагора сумел разгадать один их этих секретов.

Умы людей всегда будоражат разнообразные загадки, и это, вероятно, будет всегда. Египетский треугольник, хоть и известен человечеству с незапамятных времён, все-таки одна из не полностью разгаданных тайн.

Ведь, что не говори, а форма египетского треугольника и проста, и в то же время гармонична, по своему он даже красив. И с ним достаточно легко работать. Для этого можно использовать самые простые инструменты — линейку и циркуль. Использую этот незатейливый элемент и его симметричные отображения, можно получить красивые, гармоничные фигуры. Это и мальтийский крест, и серединное сечение пирамиды Хефрена, и фрактальный ряд убывающих — возрастающих, по размерам египетских треугольников в соответствии с правилом золотого сечения. Это удивительное богатство гармоничных пропорций.

До сих пор в мире есть много пытливые люди, которые как безумцы изобретают вечный двигатель, ищут квадратуру круга, философский камень и книгу мёртвых. Скорее всего, усилия их тщетны, но даже в случае с Египетским треугольником, ясно что «простых тайн» на земле еще много.

Чему равны углы в египетском треугольнике. Египетский треугольник. Прямой угол без инструмента.

Допустим, у нас есть линия к которой нам нужно выставить перпендикуляр, т.е. еще одну линию под углом 90 градусов относительно первой. Или у нас есть угол (например, угол комнаты) и нам нужно проверить равен ли он 90 градусам.

Все это можно сделать с помощью одной только рулетки и карандаша.

Есть две отличные штуки, такие как «Египетский треугольник» и теорема Пифагора, которые нам в этом помогут.

Когда будут найдены причины и цели, поиск инновационных знаний будет естественным следствием. Вы должны быть оптимистами, но этого недостаточно. Верования должны превращаться в действия. Если возможно, не в изолированных действиях. Если класс — это единственное пространство, которое нужно иметь, нужно грамотно занять его и сделать реальным то, о чем когда-то мечтали.

Происхождение геометрии несколько туманно, как одно из многих знаний о математике, в которой невозможно приписать одному человеку его открытие. Однако считается, что его начало в Египте и самые ранние свидетельства современной геометрии датируются примерно 600 годом до нашей эры.

Итак, Египетский треугольник
— это прямоугольный треугольник с соотношением всех сторон равным 3:4:5 (катет 3: катет 4: гипотенуза 5).

Египетский треугольник напрямую связан с теоремой Пифагора — сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (3*3 + 4*4 = 5*5).

Как нам это может помочь? Все очень просто.

Задача №1.
Н
ужно построить перпендикуляр к прямой линии (например, линию под 90 градусов к стене).

Несмотря на свою важность в историко-культурном контексте, геометрия недостаточно изучена. При этом навыки, которые будут разработаны у студентов, устарели. Согласно учебному предложению Санта-Катарины в отношении преподавания геометрии и компетенций, которые должны быть разработаны в студенте, необходимо учитывать некоторые факторы.

Изучение или исследование физического пространства и форм. Ориентация и визуализация и представление физического пространства. Визуализация и понимание геометрических форм. Обозначение и признание форм в соответствии с их характеристиками. Классификация объектов по их формам.


Шаг 1
. Для этого от точки №1 (где будет наш угол) нужно отмерить на этой линии любое расстояние кратное трем или четырем — это будет наш первый катет (равный трем или четырем частям, соответственно), получаем точку №2.

Для простоты вычислений можно взять расстояние, например 2м (это 4 части по 50см).

Изучение свойств фигур и отношений между ними. Построение геометрических фигур и моделей. Построение и обоснование отношений и предлогов, основанных на гипотетических дедуктивных рассуждениях. Для этого компетенции, относящиеся к геометрии, должны быть переданы со второго года начальной школы с учетом уровня абсорбции содержания ученика.

В обществе принято и принято, принцип «делать математику — решать проблемы». В связи с этим решение проблемы представляет собой предмет для исследователей и математиков. Понимание трудностей, с которыми сталкивается большинство студентов, сталкивающихся с этой жизненно важной деятельностью, сталкивается с большими проблемами. Первым, конечно же, является точное понимание проблемы. Для Лакатоса и Маркони «проблема — трудность, теоретическая или практическая, в знании чего-то реального значения, для которого нужно найти решение», и это понимание имеет фундаментальное значение для студентов, чтобы они работали с разрешением проблемы.

Шаг 2
. Затем от этой же точки №1 отмеряем 1,5м (3 части по 50см) вверх (выставляем примерный перпендикуляр), чертим линию (зеленая).

Шаг 3
. Теперь из точки №2 нужно поставить метку на зеленой линии на расстоянии 2,5м (5 частей по 50см). Пересечение этих меток и будет нашей точкой №3.

Соединив точки №1 и №3 мы получим линию-перпендикуляр нашей первой линии.

Во-первых, можно сказать, что решение проблемы, как стратегия развития математического образования, должно избавиться от этого чувства «необходимого зла», созданного бесконечным списком «проблем», которые, как правило, в конце каждой единицы Программа, учитель представляет студентам.

Традиционное использование проблем, сводящееся к применению и систематизации знаний, привлекает неприязнь и незаинтересованность студента, препятствуя их полному интеллектуальному развитию. Чрезмерная подготовка определений, методов и демонстраций становится рутинной и механической деятельностью, в которой оценивается только конечный продукт. Несоблюдение этапов исследования и передачи логико-математических идей не позволяет строить концепции. Таким образом, «математическое знание не представляет собой ученика как систему понятий, что позволяет ему решать множество проблем, а как бесконечную символическую, абстрактную, непонятную речь».

Задача №2.
Вторая ситуация
— есть угол и нужно проверить прямой ли он.

Вот он, наш угол. Крнечно проще проверить большим угольником. А если его нет?

>>Геометрия: Египетский треугольник. Полные уроки

Математические знания эволюционировали лишь от многих ответов на многие вопросы, заданные на протяжении всей истории. Творчество, критическая перепись, любопытство и удовольствие составляли топливо, которое подпитывало этот процесс открытия. По словам Поля, схема решения проблем.

Систематическое использование этой схемы помогает студенту организовать мышление. Конфронтация его первоначальной идеи решения с решением коллеги или группы способствует обучению, таким образом, переоценивая роль учителя. Самые ранние свидетельства зачатков тригонометрии возникли как в Египте, так и в Вавилоне, из расчета соотношений между числами и между сторонами аналогичных треугольников.

Тема урока

Цели урока

  • Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
  • Углубить знания по геометрии, изучить историю происхождения.
  • Закрепить теоретические знания учащихся о треугольниках в практической деятельности.
  • Познакомить учащихся с Египетским треугольником и его применением в строительстве.
  • Научиться применять свойства фигур при решении задач.
  • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
  • Воспитательные — посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

  • Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

  1. Вступительное слово.
  2. Полезно вспомнить.
  3. Тоеугольник.

Вступительное слово

Знали ли в древнем Египте математику и геометрию? Не только знали, но и постоянно использовали ее при создании архитектурных шедевров и даже… при ежегодной разметке полей, на которых вода при наводнении уничтожала все межи. Даже существовала специальная служба землемеров, которые быстро с помощью геометрических приемов восстанавливали границы полей, когда вода спадала.

Ахемский папирус — самый обширный египетский документ по математике, который пришел по сей день. Кто был во власти писца Ахмеса. Вавилоняне проявляли большой интерес к астрономии, как по религиозным соображениям, так и к

Что такое Египетский треугольник на стройке? В чем его особенность +Фото и Видео

Пропорции египетского треугольникаСтроительство с применением египетского треугольника древний способ, активно используемый до сих пор современными строителями. Название получил благодаря древнеегипетским сооружениям, хотя известно, что история его начинается задолго до этого периода.

Но, скорее всего, свойства уникальной фигуры не были оценены в те времена, пока не появился Пифагор, сумевший проанализировать и оценить изящные формы фигуры.

Египетский треугольник известен еще с древних времен. Он был и остается популярен в строительстве и архитектуре много веков.

Считается, что создал геометрическую конструкцию великий греческий математик Пифагор Самосский. Благодаря ему сегодня мы можем использовать все свойства геометрической постройки в области строения.

Египетский треугольник в строительстве. Общие сведения

Зарождение идеи

Идея у математика появилась после путешествия в Африку по просьбе Фалеса, который поставил задачу Пифагору изучить математику и астрономию тех мест. В Египте он среди бескрайней пустыни встретил величественные строения, поразившие его размером, изяществом и красотой.

Надо заметить, что более двух с половиной тысяч лет назад пирамиды были несколько другими – огромными, с четкими гранями. Тщательно изучив могущественные постройки, коих было не мало, так как рядом с великанами, стояли храмы поменьше, построенные для детей, жен и других родственных лиц фараона, это натолкнуло его на мысль.

Благодаря своим математическим способностям, Пифагор сумел определить закономерность в формах пирамиды, а умение анализировать и делать выводы привели к созданию одной из самых значимых теорий в истории геометрии.

Из истории

Знали ли в древнем Египте о геометрии и математике? Конечно да. Жизнь египтян была тесно связана с наукой. Они регулярно пользовались знаниями при разметке полей, создании архитектурных шедевров. Даже существовала своя служба землемеров, которые применяли геометрические правила, занимаясь восстановлением границ.

Название треугольник получил благодаря эллинам, которые нередко бывали в Египте в VII-V вв. до н.э. Считается, что прообразом фигуры стала пирамида Хеопса, отличающаяся совершенными пропорциями. Ее место особенное в истории. Если посмотреть поперечное сечение, то можно отметить два треугольника, у которых угол внутри равняется 51о50’.

Строение

Несколько пирамид в ЕгиптеСегодня это строение усеченной формы, приобретенной под воздействием времени, высота явно потерялась. Однако, восстановив ее геометричность, можно сделать вывод, что стороны треугольников равны. Получается в основе заложен золотой прямоугольный треугольник.

Однако, следует рассмотреть другую пирамиду – Хефрена, у которой основа как раз-таки прямоугольный треугольник и где угол наклона боковых граней равен 53о12 с соотношением катетов 4:3. Это уже так называемый священный треугольник. Для египтян такая фигура сопоставлялась с семейным очагом: катет вертикального положения олицетворял мужчину, основание – представительницу прекрасного пола, а гипотенуза – рождение ребенка от обоих.

Стороны пирамиды Хефрена в соотношении равны 3:4:5, что точно соответствует теореме Пифагора. Значит, можно сделать вывод, что строители уже знали об этой теореме, но не могли ее сформулировать. Хотя, в исторических письменах встречаются следы использования египетского треугольника за много веков даже до Египта. До сегодняшнего дня это загадка, как могли такие знания получить древние египтяне. Понимали ли они чем обладают?

Особенность фигуры к тому же в том, что благодаря подобному соотношению, она является простым и первым Героновым треугольником, так как ее стороны и площадь целочисленные.

Обратное доказательство

Как доказать, что треугольник прямоугольный? Нужно порой исходить от обратного, то есть если сумма квадратов обеих сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоугольный, что подтверждает равенство 32х42=52 и значит он действительно прямоугольный.

Таким образом теорема Пифагора стала каноном и фундаментом развития математической науки. Со школьной скамьи каждый ученик знает, что означает выражение «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Интересно, что теорема Пифагора находится в Книге Гиннесса как теорема, обладающая самым большим количеством доказательств, которых примерно 500.

Особенности

Если рассмотреть более детально отличительные особенности египетского треугольника, то можно выделить следующие моменты:

  • все стороны и площадь состоят из целых чисел, как говорилось выше;
  • согласно теории великого математика, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе;
  • такой фигурой возможно отмерить прямые углы в пространстве. Это используется в процессе строительства до сих пор;
  • не обязательно пользоваться специальными измерительными приборами, подойдут подручные средства, например, веревка.

Место в строительном мире

С древнейших времен египетский треугольник нашел почетное место в архитектуре и строительстве. Конструкция пирамиды отличается тем, что позволяет создавать здание с совершенно правильными углами без каких-либо дополнительных инструментов.

Задача намного облегчается, если использовать транспортир или треугольник. Но, раньше применялись только шнуры и веревке, разделенные на отрезки. Благодаря отметкам на веревке можно было с точностью воссоздать прямоугольную фигуру. Строителям заменяла транспортир и угольник веревка, для чего отмечали узлами на ней 12 частей и складывали треугольник с отрезками 3,4,5. Прямой угол получался без затруднений. Эти знания помогли создать множество сооружений, в том числе пирамиды.

Интересно, что до древнего Египта, таким способом строили в Китае, Вавилоне, Месопотамии.

Свойства египетской треугольной фигуры подчиняются истине – квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов. Эта теорема Пифагора знакома каждому со школьной поры. Например, умножаем 5х5 и получаем гипотенузу равную числу 25. Квадраты обоих катетов равны 16 и 9, что в сумме дает цифру 25.

Благодаря таким свойствам, треугольник нашел применение в строительстве. Можно взять любую деталь, с целью провести линию прямого направления с условием, что ее длина должна быть кратной пяти. После этого заметить один край и прочертить от него линию кратную четырем, а от другого кратную трем. При этом каждый отрезок должен быть длиной минимум четыре и три. Пересекаясь, они образовывают один прямой угол в 90 градусов. Другие углы равны 53,13 и 36,87 градусам.

Какие существуют альтернативные варианты

Как создать прямой угол

Лучшим вариантом смастерить прямой угол является применение угольника или транспортира. Это позволит с минимальными затратами найти необходимые пропорции. Но, основной момент египетского треугольника в его универсальности из-за возможности создать фигуру, не имея под рукой ничего.

В этом деле может пригодиться все, даже печатные издания. Любая книга или даже журнал имеют всегда соотношение сторон, образующее прямой угол. Типографские станки работают всегда точно, чтобы рулон, заправленный в машину резался пропорциональными углами.

Древние инженеры придумывали много способов строительства египетского треугольника и всегда экономили ресурсы.

Поэтому, самым простым и широко применяемым был метод постройки геометрической фигуры с применением обычной веревки. Бралась бечевка и резалась на 12 ровных частей, из которых выкладывалась фигура с пропорциями 3,4 и 5.

Как создать другие углы?

Египетский треугольник в строительном мире нельзя недооценивать. Его свойства однозначно полезны, но без возможности построить углы другого градуса в строительстве невозможно. Чтобы образовался угол в 45 градусов, понадобится рамка или багет, которые распиливаются под углом в 45 градусов и соединяются между собой.

Важно! Чтобы получить необходимый наклон, потребуется позаимствовать бумажный лист из печатного издания и согнуть его. Линии изгиба при этом будут проходить через угол. Края должны быть соединены.

Получить 60 градусов можно с применением двух треугольников по 30 градусов. Чаще всего используются для создания декоративных элементов.

Небольшие хитрости

Египетский треугольник 3х4х5 актуален для маленьких домов. Но, что делать, если дом 12х15?

Для этого нужно построить прямоугольный треугольник, у которого катеты равняются 12 и 15 м. Гипотенуза находится как квадратный корень из суммы 12х12 и 15х15. В итоге получаем 19,2 м. С помощью чего-либо — веревки, шпагата, бечевки, тросика, военного кабеля, отмеряем 12, 15 и 19,2 м. Делаем узлы на этих местах и ставим жимки.

Затем треугольник нужно растянуть на нужном месте и установить 3 точки опоры, в которые вбить колышки. Четвертую точку можно получить, не трогая концы катетов. Для этого точка прямого угла перекидывается по диагонали и все готово.

Например, есть участок, где требуется прямой угол – для места под кухонный гарнитур, раскладки кафеля и других моментов. Хорошо бы такие вопросы учесть при кладке, но реальность другая и не всегда попадаются ровные стены и прямые углы. Здесь пригодится египетский треугольник с соотношением 3:4:5, либо при необходимости 1,5:2:2,5.

Обязательно учитывается толщина маяков, погрешность, бугры на стенах и т.д. Треугольник рисуется с помощью рулетки и мела. Если разметка небольшая, то можно воспользоваться листом гипсокартона, так как режутся они с правильными углами.

Египетский треугольник широко использовался в строительстве целых 2,5 века. И сегодня иногда приходится применять данную методику, при отсутствии необходимых инструментов, чтобы получить прямые углы. Свойства этой фигуры уникальны, что гарантирует точность в архитектуре и строительстве, без которой не обойтись. С ним легко работать, по форме он гармоничен и красив. До сих пор пытливые умы пытаются разгадать тайну египетского треугольника.

 

Египетский треугольник

О египетском треугольнике и его свойствах хорошо известно ещё с древних времён. Эта фигура широко применялась в строительстве для разметки и построения правильных углов.

История египетского треугольника

Создателем этой геометрической конструкции является один из величайших математиков древности Пифагор. Именно благодаря его математическим изысканиям мы можем в полной мере использовать все свойства данного геометрического построения в строительстве.

Важно! Принято считать, что толчком к открытию этой геометрической фигуры послужило путешествие Пифагора в Африку, где он увидел египетские пирамиды. Возможно, именно они стали прообразом данной конструкции.

Можно предположить, что математические навыки позволили Пифагору заметить закономерность в формах строения. Дальнейшее развитие событий можно легко представить. Базовый анализ и построение выводов создали одну из самых значимых фигур в истории. Скорее всего, в качестве прообраза была выбрана именно пирамида Хеопса из-за своих практически совершенных пропорций.

Египетский треугольник в строительстве

Свойства этой уникальной геометрической конструкции заключаются в том, что её построение без применения каких-либо инструментов позволяет построить дом с правильными во всех соотношениях углами.

Важно! Конечно, в идеале лучшим вариантом будет использование транспортира или угольника.

Итак, качества египетского треугольника позволяют делать правильные во всех соотношениях углы. Стороны конструкции имеют следующее соотношение друг к другу:

  1. 5,
  2. 4,
  3. 3.

Чтобы проверить ту ли фигуру вы начертили, используйте хорошо известную ещё со школьной скамьи Теорему Пифагора.

Внимание! Свойства египетского треугольника таковы, что квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов.

Для лучшего понимания возьмём приведенную выше зависимость и составим небольшой пример. Умножим пять на пять. В результате чего получим гипотенузу равную 25. Вычислим квадраты двух катетов. Они составят 16 и 9. Соответственно их сумма будет двадцать пять.

Именно поэтому свойства египетского треугольника так часто используются в строительстве. Вам достаточно взять заготовку и прочертить прямую линию. Её длина всегда должна быть кратной 5. Затем нужно наметить один край и отмерять от него линию кратную 4, а от второго 3.

Внимание! Длина каждого отрезка составит 4 и 3 см (при минимальных значениях). Пересечение этих прямых образует прямой угол, равняющийся 90 градусам.

Альтернативные способы построить прямой угол на 90 градусов

Как уже упоминалось выше, наилучшим вариантом будет просто взять угольник или транспортир. Эти инструменты позволяют с наименьшими затратами времени и сил добиться нужных пропорций. Главное же свойство египетского треугольника заключается в его универсальности. Фигуру можно построить, не имея в арсенале практически ничего.

Сильно в построении прямого угла помогают простые печатные издания. Возьмите любой журнал или книгу. Дело в том, что в них соотношение сторон всегда составляет ровно 90 градусов. Типографические станки работают очень точно. В противном случае рулон, который заправляется в станок, будет резаться непропорциональными кривыми углами.

Как получить египетский треугольник при помощи верёвки

Свойства этой геометрической фигуры тяжело переоценить. Неудивительно, что инженерами древности было придумано множество способов её образования с использованием минимальных ресурсов.

Одним из самых простых считается метод образования египетского треугольника со всеми его вытекающими свойствами посредством простой верёвки. Возьмите бечёвку и разрежьте её на 12 абсолютно ровных частей. Из них сложите фигуру с пропорциями 3, 4 и 5.

Как построить угол в 45, 30 и 60 градусов

Безусловно, египетский треугольник и его свойства очень полезны при постройке дома. Но без других углов вам обойтись всё-таки не удастся. Чтобы получить угол, равняющийся 45 градусам, возьмите материал рамки или багета. После чего распилите его под углом в сорок пять градусов и состыкуйте половинки друг с другом.

Важно! Для получения нужного наклона вырвите лист бумаги из журнала и согните его. При этом линии изгиба будут проходить через угол. Края должны совпасть.

Как видите, свойства фигуры позволяют гораздо проще и быстрее построить геометрический конструкт. Чтобы добиться соотношения сторон в 60 градусов нужно взять один треугольник на 30º и второй такой же. Обычно подобные пропорции необходимы при создании определённых декоративных элементов.

Внимание! Соотношение сторон на 30º нужно, чтобы сделать шестиугольники. Их свойства востребованы в столярных заготовках.

Итоги

Свойства египетского треугольника широко использовались в строительстве на протяжении почти, что двух с половиной веков. Даже сейчас при недостатке инструментов строители применяют эту открытую ещё Пифагором методику, чтобы добиться ровных прямых углов.

Планиметрия. Страница 5























































































         
 
Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 5
 
   
 
 
 


1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.

5.Примеры.




 

 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 

1.Теорема Пифагора

 
 

   Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.

1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки.

2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними.

3. Т.к. сумма углов α + β = 90°, то фигура внутри большого квадрата тоже квадрат. (Все стороны = с и все углы = 90° )

4. Площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и 4-х треугольников. (Рис.1)

 

Рис.1 Теорема Пифагора.

 
   
         

2.Египетский треугольник

 
         
 

   Пусть дан треугольник со сторонами АВ = a, ВС = b, АС = c. При условии, что а2 + b2 = с2. Доказать, что угол, лежащий против стороны с, прямой.



   Допустим, что треугольник АВС не прямоугольный. Тогда можно опустить высоту на сторону АС — h (Рис.2). Из двух прямоугольных треугольников ABD и DBC составим следующую систему уравнений по теореме Пифагора. Обозначим AD как х, BD — высота h.


   Но по условию задачи а2 + b2 = с2. Следовательно х = 0 и сторона а = h. Т.е. угол между сторонами АВ и АС — прямой.

   В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником.
   

 

Рис.2 Египетский треугольник.

 
       

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике

   
       
 

   Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:


   Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α.


   Отсюда можно сделать следующие выводы:

AB = BC sin α

AC = BC cos α

AB = AC tg α

AC = AB ctg α

 

Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

 
         
         
 
   
 

4.Основные тригонометрические тождества

 

    Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)




 

Рис.4 Основные тригонометрические тождества.

 
         
         

5.Пример 1

 

   У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)

 
         
 

    Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.


 

Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м…

 
         
 

Пример 2

 
 

   Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)

 
         
 


   Решение:

   Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 — 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD.

   
По теореме Пифагора:

   АВ2
= AE2 + BE2

   Следовательно:

   52
= 32 + BE2

   25
= 9 + BE2

   BE2 = 16

   BE = 4 м.



 

Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции…

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)

 
         
 


   Доказательство:

   Пусть ABC данный треугольник. АС — его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС.

   
Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:

   АС = АВ сos α + ВС cos β

   Тогда отрезок DE будет равен:

   DE = DB сos α + ВE cos β

   Так как DB

   то следовательно, отрезок DE меньше стороны АС.

   Допустим, что отрезок DE непараллелен стороне АС (рис.7 б). Тогда можно взять отрезок DE1 параллельный АС, который больше чем DE, и доказать, что DE1 меньше стороны АС аналогичным образом.



 

Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками…

 
         
 

Пример 4

 
 

   Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)

 
         
 


   Доказательство:

   Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h

   Обозначим прямую, на которой лежит отрезок ОЕ, как b. Пусть точка О делит прямую b на две полупрямые, одна из которых ОЕ. Согласно аксиоме, от любой полупрямой, от ее начальной точки (точки О), в заданную полуплоскость, можно отложить только один угол определенной градусной меры α. Следовательно, отрезок ОЕ = h = ОА*cos α.

   Но так как прямая b делит плоскость на две полуплоскости, то от полупрямой ОЕ, от ее начальной точки (точки О) можно отложить такой же угол, той же градусной меры и во вторую полуплоскость, т.е. -α. Так, что ОЕ = h = ОВ*cos (-α).

   Таким образом, если выполняется условие R = OA > h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как

   

h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)

   Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.



 

Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности…

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)

 
         
 


   Доказательство:

   Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС

   Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.

   
Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС

   так как АЕ и ЕС являются проекциями AB и ВС на сторону АС. А любая проекция наклонной всегда меньше (в крайнем случае равна) самой наклонной.



Т.е. АE < AB, a EC < BC.

   Таким образом, концы отрезков АВ и СВ смогут совпасть в одной точке В. И можно построить треугольник.

   Предположим, что расстояние АС > AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что

   
АС > АВ + СB1 = AE + CE1,

   Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ1 и построить треугольник не получится.




 

Рис.9 Задача. Даны три положительных числа…

 
         
         
 
   
 
         

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
 
1.Основные фигуры планиметрии.

2.Аксиомы планиметрии.

3.Смежные углы.

4.Вертикальные углы.

5.Перпендикулярные прямые.

6.Признаки равенства треугольников.
 
1.Движение и его свойства.

2.Симметрия относительно точки.

3.Симметрия относительно прямой.

4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
 
1.Параллельность прямых.

2.Признаки параллельности прямых.

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

4.Сумма углов треугольника.

5.Единственность перпендикуляра к прямой.

6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.

7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
 
1.Вектор и его абсолютная величина.

2.Сложение векторов.

3.Умножение вектора на число.

4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
 
1.Окружность.

2.Окружность описанная около треугольника.

3.Окружность вписанная в треугольник.

4.Геометрическое место точек.


 
1.Преобразование подобия и его свойства.

2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.

3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.

5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
 
1.Параллелограмм.

2.Свойства диагоналей параллелограмма.

3.Ромб.

4.Теорема Фалеса.

5.Средняя линия треугольника.

6.Трапеция.

7.Теорема о пропорциональных отрезках.

 
1.Углы, вписанные в окружность.

2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.

3.Теорема косинусов.

4.Теорема синусов.

5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
 
1.Теорема Пифагора.

2.Египетский треугольник.

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

4.Основные тригонометрические тождества.


 
1.Многоугольники. Правильные многоугольники.

2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.

3.Подобие многоугольников.

4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
 
1.Декартова система координат.

2.Расстояние между точками.

3.Уравнение окружности.

4.Уравнение прямой.

5.Координаты точки пересечения.

 
1.Площадь прямоугольника.

2.Площадь параллелограмма.

3.Площадь треугольника.

4.Площадь круга.

5.Площадь подобных фигур.

6.Площадь трапеции.
 
 
     
 

Египетский треугольник и качества

Египетский треугольник в строительстве + свойства

Еще с давних времен известно о египетском треугольнике и свойствах. Такая фигура широко применялась в сфере строительства для построения и разметки правильных углов.

История появления египетского треугольника. Данная геометрическая конструкция была создана одним из лучших и великих математиков древности – Пифагором.

Именно благодаря его изысканиям в математике мы может в полной мере применять каждое из свойств такого геометрического выстраивания в сфере строительства.

Общие сведения

Обратите внимание, что приятно считать, что толчком к открытию данной геометрический фигуры послужило путешествие, где Пифагор увидел египетские пирамиды. Возможно, именно они и стали настоящим прообразом такой конструкции.

Можно сделать предположение, что именно математические навыки позволили Пифагору отметить закономерность в форме строения. Будущее развитие событий можно с легкостью представить. Базовый анализ, а также выстраивание выводов помогли создать одну из наиболее значительных фигур в истории. Скорее всего, в роли прообраза была выбрана пирамида Хеопса из-за своих почти идеальных пропорций.

Особенности применения египетского треугольника в строительстве

Как сделать египетский треугольник с применением веревкиСвойства такой геометрический конструкции, которая в полной мере уникальна, заключаются в том, что ее выстраивание без использования каких-то инструментов дает возможность выстраивать дома с правильными во всех планах углами. Крайне важно, что в идеале стоит применять угольник или транспортир.

Итак, свойства египетского треугольника дает возможность делать правильные в каждом соотношении углы. Стороны конструкции обладают таким соотношением друг к другу, как 5:4:3. Чтобы проверять те или иные фигуры были начерчены, требуется применять хорошо известную теорему Пифагора, которую каждый человек знает со школьных времен.

Интересно, что правило египетского треугольника таково, что квадрат гипотенузы равен квадратам катетов (двух).

Для идеального понимания требуется взять приведенную выше зависимость и составить небольшой пример. Умножьте 5 и 5, в результате чего у вас получается гипотенуза, равна 25. Далее вычисляйте квадраты двух катетов, которые составят 9 и 16. Соответственно, их общая сумма дает 25. Именно по этой причине качества египетского треугольника так часто применяются в сфере строительства. Вам потребуется лишь взять заготовку и прочерчивать прямую линию. Ее длина постоянно должна быть краткая 5. После этого требуется наметить один край и вымерить от него линию, которая кратна 4, а от второго линия должна быть кратной 3.

Обратите внимание, что длина каждого отрезка составляет 4 и 3 см (при минимальном значении). Пересечение прямых будет создавать прямой угол, который равен 90 градусам.

Альтернативные методы выстраивания прямого угла

Как уже было упомянуто выше, самым лучшим вариантом будет лишь взять угольник или транспортир. Такие инструменты дают возможность с минимальными затратами сил и времени добиваться требуемых пропорций. Главным же свойством треугольника является его универсальность. Фигуру можно выстраивать, не имея в арсенале почти ничего.

Ощутимо могут помочь в построении прямого угла простые изделия печатного типа. Возьмите любую книгу или журнал, и все дело в то, что в них соотношение стороны составляет аккурат 90 градусов. Типографические танки способны работать весьма точно, и в обратном случае рулон, который будет заправлен в станок, может быть нарезан непропорциональными кривыми углами.

Как сделать египетский треугольник с применением веревки

Как выстраивать углы на 30, 45 и 60 градусовЕгипетский треугольник в строительстве крайне важен, и его качества тяжело переоценить. Неудивительно, что древними инженерами было придумано большое количество методов ее образования с применением минимальных ресурсов. Одним из наиболее простых может считаться способ образования египетского треугольника со всеми свойствами, которые вытекают при помощи обычной веревки. Требуется взять бечевку и разрезать ее на 12 идеально равных частей. Из них требуется сложить фигуру, которая обладает пропорциями 3:4:5.

Как выстраивать углы на 30, 45 и 60 градусов

Естественно, что треугольники египетского типа и его качества весьма полезные при строительстве дома. но без остальных углов вам не удастся обойтись. Чтобы получился угол, который равен 45 градусам, требуется взять материал багета или рамки. После этого важно распиливать его под углом в 45 градусов и состыковать половинки друг с другом.

Обратите внимание, что для получения требуемого наклона требуется вырвать лист бумаги из журнала, а после согнуть его. При этом линия изгиба будет проходить через угол, и края обязательно должна совпадать.

Как видно, свойства фигуры дают возможность куда проще и скорее выстраивать геометрические конструкции. Чтобы добиваться соотношения сторон в 60 градусов, требуется взять один треугольник на 30 градусов и второй аналогичный. Как правило, такие пропорции требуются для того, чтобы создавать определенные декоративные элементы. Соотношение сторон на 30 градусов требуется, чтобы сделать шестиугольики. Их качества востребованы для столярных заготовок.

Заключение

Свойства треугольника из Египта широко применялись в сфере строительства в течение практически 2.5 веков. Даже сегодня при недостатке инструментов строители могут применять еще и открытую Пифагором методику, чтобы добиваться идеально ровных и прямых углов.

 

Как выставить 90 градусов. Египетский треугольник

При отделочных работах и строительстве бывает нужна четкая геометрия: перпендикулярные стены и иные
конструкции, требующие прямого угла в 90 градусов. Обыкновенный угольник не может позволить проверить или
разметить углы со сторонами в несколько метров. Описываемый же метод превосходно подходит для разметки или
проверки любых углов — длинна сторон не ограничена. Основной инструмент для измерений — рулетка.

Мы будем рассматривать точную разметку прямого угла, а также метод проверки уже размеченных углов на стенах
и других объектах.

Теорема Пифагора

Теорема основана на утверждении, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов длин катетов равна
квадрату длины гипотенузы
. В виде формулы записывается это так:

a²+b²=c²

Стороны a и b — катеты, между которыми угол равен ровно 90 градусов. Следовательно, сторона c — гипотенуза.
Подставляя в эту формулу две известные величины, мы можем вычислить третью, неизвестную. А следовательно можем
размечать прямые углы, а также проверять их.

Теорема Пифагора известна еще под названием «египетский треугольник». Это треугольник со сторонами 3, 4 и 5,
причем совершенно не важно, в каких единицах длинны. Между сторонами 3 и 4 — ровно девяносто градусов. Проверим
данное утверждение вышеприведенной формулой: a²+b²=c² = (3×3)+(4×4) = 9+16 = (5×5) = 25 — все
сходится!

А теперь применим теорему на практике.

Проверка прямого угла

Начнем с самого простого — проверки прямого угла с помощью теоремы Пифагора. Самым частым примером
в отделке и строительстве является проверка перпендикулярности
стен. Перпендикулярные стены —
это стены, расположенные друг к другу под прямым углом 90°.

Итак, берем любой проверяемый внутренний угол. На стенах (на одной высоте) или на полу отмечаем на обоих
стенах отрезки произвольных длин. Длинна этих отрезков произвольная, по возможности нужно отмечать как можно
больше, но чтобы между отметками на стенах удобно было мерить диагональ. Например, мы отметили 2,5 метра (или 250
см.) на одной стене и 3 метра (или 300 см.) на другой. Теперь длину отрезка каждой стены возводим в квадрат
(умножаем саму на себя) и получившиеся произведения складываем. Выглядит это так: (2,5×2,5)+(3×3)=15,25 —
это диагональ в квадрате. Теперь нужно извлечь из этого числа квадратный корень √15,25≈3,90 — 3,9 метра
должна составлять диагональ между нашими отметками. Если измерение рулеткой показывает другую длину диагонали —
проверяемый угол развернут и имеет отклонение от 90°.

Калькулятор расчета диагонали прямого угла

Внимание! Для работы калькулятора необходимо включить
поддержку JavaScript
в вашем браузере!

Длина a

Длина b

Диагональ c

Извлечение квадратного корня никогда меня не привлекало — простому человеку не обойтись без калькулятора, к тому же,
не на всех мобильных устройствах калькуляторы умеют извлекать его. Поэтому можно пользоваться упрощенным методом. Нужно
лишь запомнить: у прямого угла со сторонами ровно 100 сантиметров, диагональ равна 141,4 см.
Таким образом, у
прямого угла со сторонами 2 м. — диагональ равна 282,8 см. То есть на каждый метр плоскости приходится 141,4 см. У этого
метода один недостаток: от измеряемого угла нужно откладывать одинаковые расстояния на обеих стенах и отрезки эти должны
быть кратны метру. Не буду утверждать, но по моей скромной практике — это гораздо удобнее. Хотя не стоит забывать
о первоначальном способе совсем — в некоторых случаях он очень актуален.

Сразу же возникает вопрос: какое отклонение от вычисленной длинны диагонали считать нормой (погрешностью), а какое
нет? Если проверяемый угол с отмеченными сторонами по 1 м. будет 89°, то диагональ уменьшится до 140 см. Из
понимания этой зависимости можно сделать объективный вывод, что погрешность диагонали 141,4 см. в несколько миллиметров
не даст отклонения в один целый градус.

Как проверить внешний угол?
Проверка внешнего угла по сути не отличается, нужно лишь продлить линии каждой стены
на полу (или земле, при помощи шнура) и получившийся внутренний угол измерить обычным способом.

Как разметить прямой угол рулеткой

Разметка может основываться как на общей теореме Пифагора, так и на принципе «египетского треугольника». Однако
это только в теории линии просто чертятся на бумаге, «ловить» же все выбранные размеры растянутыми шнурами или
линиями на полу — задача посложнее.

Поэтому я предлагаю упрощенный способ, основанный на диагонали 141,4 см. у треугольника со сторонами 100 см. Вся
последовательность разметки изображена на картинках ниже. Важно не забывать: диагональ 141,4 см. нужно умножать на
количество метров в отрезке А-Б. Отрезки А-Б и А-В должны быть равны и соответствовать целому числу в метрах.
Картинки увеличиваются по клику!

Как разметить острый угол

Гораздо реже возникает надобность в создании острых углов, в частности 45°. Для формирования подобных
фигур формулы более сложные, однако это не самое проблематичное. Гораздо сложнее свести все линии, начерченные
или натянутые шнурами — дело это непростое. Поэтому я предлагаю использовать упрощенный метод. Сначала размечается
прямой угол 90°, а затем диагональ 141,4 делится на нужное количество равных частей. Например, чтобы получить
45°, диагональ нужно поделить пополам и от точки А провести линию через место деления. Таким образом мы получим
два угла по 45 градусов. Если поделить диагональ на 3 части, то получится три угла по 30 градусов. Думаю алгоритм
вам понятен.

Собственно я рассказал все, что мог рассказать, надеюсь все изложил понятным языком и у вас больше не возникнет
вопросов как размечать и проверять прямые углы. Стоит добавить, что уметь делать это должен любой отделочник или
строитель, ведь полагаться на строительный угольник небольшого размера — непрофессионально.

Кто занимается самостоятельным строительством знает, что до начала постройки сооружения надо своими руками разметить фундамент. Здесь рассмотрен случай начала работ по возведению свайного винтового фундамента на участке по ряду причин садоводческого характера не очищенного от полезных растений. Это затрудняло работы по разметке будущего фундамента, но эти трудности легко были преодолены с помощью простого приспособления по выставлению прямых углов.

Как сделать разметку фундамента своими руками

Обычно разметка фундам

Внутренние углы полигонов

Внутренний угол — это угол внутри формы

Другой пример:

Треугольники

Сумма внутренних углов треугольника составляет 180 °

Давайте попробуем треугольник:

90 ° + 60 ° + 30 ° = 180 °

Это работает для этого треугольника

Теперь наклоните линию на 10 °:

80 ° + 70 ° + 30 ° = 180 °

Еще работает!
Один угол пошел на вверх, на 10 °,
, а другой на вниз на 10 °

Четырехугольники (квадраты и т. Д.)

(У четырехугольника 4 прямые стороны)

Попробуем квадрат:

90 ° + 90 ° + 90 ° + 90 ° = 360 °

Квадрат в сумме дает 360 °

Теперь наклоните линию на 10 °:

80 ° + 100 ° + 90 ° + 90 ° = 360 °

В сумме все равно 360 °

Внутренние углы четырехугольника в сумме составляют 360 °

Потому что в квадрате 2 треугольника…

Сумма внутренних углов в треугольнике составляет 180 °

… а для квадрата они составляют 360 °

… потому что квадрат можно составить из двух треугольников!

Пентагон

У пятиугольника 5 сторон, и его можно составить из трех треугольников , так что вы знаете, что …

… его внутренние углы в сумме составляют 3 × 180 ° = 540 °

А когда это обычный (все углы одинаковые), то каждый угол будет 540 ° /5 = 108 °

(Упражнение: убедитесь, что каждый треугольник здесь составляет 180 °, и убедитесь, что внутренние углы пятиугольника составляют в сумме 540 °)

Суммарные внутренние углы пятиугольника составляют 540 °

Общие правила

Каждый раз, когда мы добавляем сторону (треугольник к четырехугольнику, четырехугольник к пятиугольнику и т. Д.), Мы добавляем еще на 180 °, к общей сумме:

Итак, общее правило:

Сумма внутренних углов = ( n −2) × 180 °

Каждый угол (правильного многоугольника) = ( n −2) × 180 ° / n

Возможно, поможет пример:

Пример: А как насчет правильного десятиугольника (10 сторон)?

Сумма внутренних углов = ( n −2) × 180 °

= ( 10 −2) × 180 °

= 8 × 180 °

= 1440 °

А для обычного десятиугольника:

Каждый внутренний угол = 1440 ° /10 = 144 °

Примечание: внутренние углы иногда называют «внутренними углами».

.

Почему у треугольника 180 градусов?

Вы знаете, что сумма углов треугольника всегда равна 180 0 ? Это почему? В конце концов, 180 0 — это угол, который простирается от одной стороны прямой до другой, поэтому странно, что это количество градусов в углах треугольника.

Какое отношение треугольник имеет к единственной прямой? Оказывается, довольно много. Треугольники также имеют прямое отношение к прямоугольникам, пятиугольникам, шестиугольникам и всему семейству многосторонних форм, известных как многоугольники.

В ближайшие несколько недель мы увидим, что я имею в виду. Но сегодня мы начнем с выяснения, почему именно углы треугольника всегда в сумме составляют 180 0 . Или вы так думали… потому что мы также увидим, что иногда они этого не делают;

Внутренние и внешние углы

Прежде чем мы зайдем слишком далеко в наш рассказ о треугольниках и общем количестве градусов в их трех углах, есть один маленький геометрический словарь, о котором мы должны поговорить.И в этом разница между внутренним и внешним углом.

Самый простой способ описать разницу между этими двумя вещами — это на примере. Поскольку сегодняшняя тема — треугольник, давайте поговорим о внутреннем и внешнем углах треугольника. Короче говоря, внутренние углы — это все углы в пределах границ треугольника. Другими словами, это те углы, о которых мы говорили все время.

Внешние углы треугольника — это все углы между одной стороной треугольника и линией, которую вы получаете, расширяя соседнюю сторону за пределы границ треугольника.Если вы подумаете об этом, то увидите, что когда вы добавляете любой из внутренних углов треугольника к его соседнему внешнему углу, вы всегда получаете 180 0 — прямую линию.

Почему у треугольников 180 градусов?

Это подводит нас к главному вопросу на сегодня: почему внутренние углы треугольника всегда в сумме составляют 180 0 ? Как оказалось, вы можете понять это, подумав о внутреннем и внешнем углах треугольника. Чтобы понять, что я имею в виду, возьмите свое воображение или лист бумаги, потому что пришло время для небольшого математического проекта по рисованию декоративно-прикладного искусства.

Начните с рисования прямоугольного треугольника с одним горизонтальным участком, одним вертикальным участком и гипотенузой, проходящей от верхнего левого угла к нижнему правому. Теперь сделайте копию этого треугольника, поверните ее вокруг 180 0 и поместите гипотенузу в гипотенузу с оригиналом (точно так же, как мы это делали, когда выясняли, как найти площадь треугольника). Наконец, сделайте еще одну копию исходного треугольника и сдвиньте ее вправо, чтобы она располагалась прямо рядом с только что сформированным прямоугольником.Со мной так далеко? В таком случае ваше изображение должно выглядеть так:

В чем смысл этой фотографии? Взгляните на внутренний угол в правом нижнем углу исходного треугольника (помеченного буквой «A»). Теперь взгляните на два угла, которые составляют внешний угол для этого угла треугольника (обозначенные буквами «B» и «C»). Как мы знаем, если мы сложим внутренние и внешние углы одного угла треугольника, мы всегда получим 180 0 . И наш маленький рисунок показывает, что рассматриваемый внешний угол равен сумме двух других углов в треугольнике.Другими словами, два других угла в треугольнике (те, которые в сумме образуют внешний угол) должны объединиться с углом в правом нижнем углу, чтобы получился угол 180 0 .

Для простоты мы использовали прямоугольный треугольник. Но оказывается, что вы можете сделать точно такой же рисунок, используя любой треугольник, который вам нравится, и всегда будете приходить к одному и тому же выводу. Попробуйте сделать несколько рисунков, начиная с разных треугольников по вашему выбору, чтобы убедиться в этом сами.В качестве примера вот еще один, который я сделал:

Неизбежный вывод этой игры состоит в том, что внутренние углы треугольника всегда должны составлять 180 0 . Наш милый и изящный маленький рисунок доказывает, что так и должно быть.

Могут ли треугольники иметь угол больше 180 градусов?

Или нет? Может быть, у нашего рисунка есть какие-то ограничения, которые не позволяют нам увидеть другую, более экзотическую возможность? Вот что вам стоит подумать или попробовать.Возьмите ненадутый воздушный шар, положите его на плоскую поверхность и нарисуйте на нем как можно более точный треугольник. Если у вас есть транспортир, было бы здорово измерить и сложить внутренние углы треугольника и убедиться, что они довольно близки к 180 0 .

Теперь взорвите воздушный шар и посмотрите на свой треугольник. Что случилось с этим? Если у вас есть транспортир, попробуйте еще раз просуммировать его внутренние углы. Что случилось с этой суммой? Вы все еще получаете 180 0 ? Что все это означает, когда дело доходит до вопроса о том, всегда ли внутренние углы треугольника в сумме составляют 180 0 , как мы, кажется, обнаружили?

К сожалению, на сегодня у нас совсем нет времени.Но обязательно загляните в следующий раз, когда мы начнем исследовать странный и чудесный мир, известный как неевклидова геометрия.

Заключение

Обязательно ознакомьтесь с моей книгой The Math Dude’s Quick and Dirty Guide to Algebra . И не забудьте стать поклонником The Math Dude на Facebook, где вы найдете множество замечательных математических публикаций в течение недели. Если вы в Твиттере, подпишитесь и на меня.

До следующего раза это Джейсон Маршалл с «Быстрые и грязные советы математика, которые помогут упростить математику» . Спасибо за чтение, любители математики!

Инструменты для рисования, изображение любезно предоставлено Shutterstock.

.

Площадь прямоугольного треугольника, Типы, Свойства, Формула Герона

    • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
    • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
      • BNAT
      • Классы
        • Класс 1-3
        • Класс 4-5
        • Класс 6-10
        • Класс 110003 CBSE
          • Книги NCERT
            • Книги NCERT для класса 5
            • Книги NCERT, класс 6
            • Книги NCERT для класса 7
            • Книги NCERT для класса 8
            • Книги NCERT для класса 9
            • Книги NCERT для класса 10
            • NCERT Книги для класса 11
            • NCERT Книги для класса 12
          • NCERT Exemplar
            • NCERT Exemplar Class 8
            • NCERT Exemplar Class 9
            • NCERT Exemplar Class 10
            • NCERT Exemplar Class 11
            • 9plar

            • RS Aggarwal
              • RS Aggarwal Решения класса 12
              • RS Aggarwal Class 11 Solutions
              • RS Aggarwal Решения класса 10
              • Решения RS Aggarwal класса 9
              • Решения RS Aggarwal класса 8
              • Решения RS Aggarwal класса 7
              • Решения RS Aggarwal класса 6
            • RD Sharma
              • RD Sharma Class 6 Решения
              • RD Sharma Class 7 Решения
              • Решения RD Sharma класса 8
              • Решения RD Sharma класса 9
              • Решения RD Sharma класса 10
              • Решения RD Sharma класса 11
              • Решения RD Sharma Class 12
            • PHYSICS
              • Механика
              • Оптика
              • Термодинамика
              • Электромагнетизм
            • ХИМИЯ
              • Органическая химия
              • Неорганическая химия
              • Периодическая таблица
            • MATHS
              • Статистика
              • 9000 Pro Числа
              • Числа
              • 9000 Pro Числа Тр Игонометрические функции
              • Взаимосвязи и функции
              • Последовательности и серии
              • Таблицы умножения
              • Детерминанты и матрицы
              • Прибыль и убытки
              • Полиномиальные уравнения
              • Деление фракций
            • Microology
                0003000
            • FORMULAS
              • Математические формулы
              • Алгебраные формулы
              • Тригонометрические формулы
              • Геометрические формулы
            • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
              • Математические калькуляторы
              • 0003000

              • 000 CALCULATORS
              • 000
              • 000 Калькуляторы по химии Образцы документов для класса 6
              • Образцы документов CBSE для класса 7
              • Образцы документов CBSE для класса 8
              • Образцы документов CBSE для класса 9
              • Образцы документов CBSE для класса 10
              • Образцы документов CBSE для класса 1 1
              • Образцы документов CBSE для класса 12
            • Вопросники предыдущего года CBSE
              • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
              • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
            • HC Verma Solutions
              • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
              • HC Verma Solutions Класс 12 Физика
            • Решения Лакмира Сингха
              • Решения Лахмира Сингха класса 9
              • Решения Лахмира Сингха класса 10
              • Решения Лакмира Сингха класса 8
            • 9000 Класс

            9000BSE 9000 Примечания3 2 6 Примечания CBSE

          • Примечания CBSE класса 7
          • Примечания

          • Примечания CBSE класса 8
          • Примечания CBSE класса 9
          • Примечания CBSE класса 10
          • Примечания CBSE класса 11
          • Класс 12 Примечания CBSE
        • Примечания к редакции 9000 CBSE 9000 Примечания к редакции класса 9
        • CBSE Примечания к редакции класса 10
        • CBSE Примечания к редакции класса 11
        • Примечания к редакции класса 12 CBSE
      • Дополнительные вопросы CBSE
        • CBSE Class 8 Maths Extra Que

.

Решение прямоугольных треугольников. Темы по тригонометрии.

Темы | Дом

6

Это тема традиционной тригонометрии. Это не входит в расчет.

РЕШИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК — значит знать все три стороны и все три угла. Когда мы знаем соотношение сторон, мы используем метод подобных фигур. Этот метод следует использовать при решении равнобедренного прямоугольного треугольника или треугольника 30 ° -60 ° -90 °.Когда мы не знаем чисел отношения, тогда мы должны использовать Таблицу отношений. В следующем примере показано, как.

Общая методика

Пример 1. Дан острый угол и одна сторона. Решите прямоугольный треугольник ABC, если угол A равен 36 °, а сторона c равна 10 см.

Решение. Поскольку угол A равен 36 °, тогда угол B равен 90 ° — 36 ° = 54 °.

Чтобы найти неизвестную сторону, скажем, a , действуйте следующим образом:

1. Сделайте неизвестную сторону числителем дроби и сделайте известную сторону знаменателем.
Неизвестно
Известно
= а
10
2. Назовите эту функцию угла.
Неизвестно
Известно
= а
10
= грех 36 °
3. Используйте тригонометрическую таблицу для оценки этой функции.
Неизвестно
Известно
= а
10
= грех 36 ° = 0,588
4. Решите неизвестную сторону.

a = 10 × . 588 см = 5 . 88 см

(Урок 4 арифметики.)

Задача 1. Решите треугольник для стороны b .

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

Для просмотра таблицы щелкните здесь.

Неизвестно
Известно
= б
10
= cos 36 ° = .809
б = 10 ×.809 = 8,09 см

Задача 2. Измерить ширину реки. Два дерева стоят друг напротив друга, в точках A и B, на противоположных берегах реки.

Расстояние AC вдоль одного берега перпендикулярно BA и составляет 100 футов. Измеренный угол ACB составляет 79 °. Как далеко друг от друга деревья; то есть какая ширина w река?

Неизвестно
Известно
= Вт
100
= загар 79 °.
Вт = 100 загар 79 °
= 100 × 5,145 = 514,5 футов,

из Табл.

(Чтобы измерить высоту флагштока и значение угла возвышения, см. Пример в теме 3.)

Пример 2.Найдите расстояние от лодки до маяка, если высота маяка 100 метров, а угол наклона — 6 °.

Решение . Угол депрессии — это угол под прямым углом, горизонтальный, на который должен смотреть обервер, чтобы увидеть что-то под наблюдателем. Таким образом, чтобы увидеть лодку, смотритель маяка должен смотреть вниз на 6 °.

Итак, треугольник, образованный маяком и находящийся на расстоянии d лодки от маяка, является прямоугольным.А поскольку угол депрессии равен 6 °, то альтернативный угол также равен 6 °. (Евклид, I. 29.)

Если d — расстояние лодки от маяка, то

d
100
= детская кроватка 6 ° = 9 . 514, из табл.

Следовательно,

d = 951 . 4 метра.

Пример 3. Даны две стороны прямоугольного треугольника. Решите прямоугольный треугольник ABC, учитывая, что сторона c = 25 см, а сторона b = 24 см.

Решение. Чтобы найти оставшуюся сторону a , используйте теорему Пифагора:

a 2 + 24 2 = 25 2
а 2 = 625 — 576 = 49
а = = 7.

Далее, чтобы найти угол A, мы имеем

cos A = 24
25
= 96
100
,
при умножении каждого члена на 4;
= . 96

(См. «Арифметика: дроби на десятичные».)

Теперь мы должны осмотреть таблицу, чтобы найти угол, косинус которого наиболее близок к . 96, или, поскольку это трехместная таблица, . 960.

Находим

cos 16 ° = . 961

Следовательно,

Угол A 16 °.

Наконец,

Угол B = 90 ° — 16 ° = 74 °.

Мы решили треугольник.

Задача 3. Решите прямоугольный треугольник ABC, учитывая, что c = 10 см и b = 8 см.

Чтобы найти оставшуюся сторону a , используйте теорему Пифагора:

a 2 + 8 2 = 10 2
а 2 = 100 — 64 = 36
а = = 6 см.

Чтобы найти угол A, имеем

cos A = 8
10
= . 8.

Теперь осмотрите таблицу, чтобы найти угол, косинус которого наиболее близок к . 8, или, поскольку это трехместная таблица, . 800.

Найдите cos 37 ° = . 799.

Следовательно,
Угол A37 °.Угол B = 90 ° — 37 ° = 53 °.

Следующая тема: Закон косинусов

Темы | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2020 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

.

0 0 vote
Article Rating
Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments